Enunciado

9.37 Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas coladas às suas extremidades. A barra possui 2,0   m de comprimento e massa de 4,0   k g , enquanto as bolas possuem 0,500   k g cada uma e podem ser tratadas como pontos de massas. Ache o momento de inércia desse sistema em relação a cada um dos seguintes eixos:

a) um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro;

b) um eixo perpendicular à barra e que passa por uma das bolas;

c) um eixo paralelo à barra e que passa por ambas as bolas;

d) um eixo paralelo à barra e a uma distância de 0,500 m dela.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia do sistema em relação a um eixo para diferentes configurações.

Nós sabemos que o momento de inércia I de um corpo de massa m que está a uma distância r do eixo de rotação é dado por:

I = m r 2

A barra tem massa M = 4,0   k g e comprimento L = 2,0   m e as duas bolas possuem massa m = 0,500   k g .

Agora que entendemos o que está acontencedo vamos aplicar a equação para o calculo do momento de inércia em cada situação!

Passo 2

No item a) o eixo é perpendicular e passa pelo centro da barra. Para este caso, o valor tabelado para o momento de inercia é dado por:

I = 1 12 M L ²

Cada bola encontra-se a uma distancia L / 2 do eixo, logo o momento de inercia das bolas serão iguais e dados por:

I = m L 2 2

O momento de inercia do sistema será dado pela soma do momento de inercia de cada uma das bolas e do momento de inercia da barra:

I = 1 12 M L 2 + 2 m L 2 2

I = 1 12 M L 2 + m L 2 2

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, teremos:

I = 1 12 ( 4,0   k g ) ( 2,0   m ) ² + ( 0,500   k g ) ( 2,0   m ) 2 2

I = 2,33   k g m ²

Passo 3

No item b) o eixo é perpendicular e passa por uma das bolas, ou seja, passa por uma das extremidades da barra. Para este caso, o valor tabelado para o momento de inercia é dado por:

I = 1 3 M L ²

Uma bola irá coincidir com o eixo e terá uma distancia 0 do mesmo. A outra, estará a uma distancia L do eixo, logo os momentos de inercia da bola serão, respecitavamente :

I = m 0 2 = 0

I = m L 2

O momento de inercia do sistema será dado pela soma do momento de inercia de cada uma das bolas e do momento de inercia da barra:

I = 1 3 M L 2 + m L 2

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, teremos:

I = 1 3 ( 4,0   k g ) ( 2,0   m ) ² + ( 0,500   k g ) 2,0   m 2

I = 7,33   k g m ²

Passo 4

No item c) o eixo passa paralelamente a barra. Cada uma das bolas também coincide sua posição com o eixo. Sendo assim, tanto o momento de inercia da barra quanto o momento de inercia das bolas será:

I = 0

Passo 5

Agora, no item d) temos um eixo a 0,500   m de distancia da barra, para este caso podemos considerar que o momento de inercia será o produto entre a soma de todas as massas (a massa da barra e das duas bolas) e a distancia d que o eixo está do sistema que é 0,500   m :

I = M t o t a l d ²

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, teremos:

I = ( 4,0   k g + 0,500   k g + 0,500   k g ) ( 0,500   m ) ²

I = 1,25   k g m ²

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) I = 2,33   k g m ²

b) I = 7,33   k g m ²

c) I = 0

d) I = 1,25   k g m ²

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