Enunciado

Um aro de 2,20 kg e 1,20 m de diâmetro está rolando da esquerda para a direita sem deslizar, sobre um piso horizontal a constantes 3,0 rad/s. a) Com que velocidade o seu centro está se

movendo? b) Qual é a energia cinética total do aro? c) Ache o vetor velocidade de cada um dos seguintes pontos, do ponto de vista de uma pessoa em repouso sobre o chão: i) o ponto mais

alto do aro; ii) o ponto mais baixo do aro; iii) um ponto do lado direito do aro, a meio caminho entre o topo e a base. d) Ache o vetor velocidade para cada um dos pontos no item (c), só que do ponto de vista de alguém que se move com a mesma velocidade do aro.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um aro de 2,20   k g e 1,20   m de diâmetro está rolando da esquerda para a direita sem deslizar, sobre um piso horizontal a constantes 3,0   r a d / s .

Queremos encontrar a) a velocidade com que o seu centro está se movendo, b) a energia cinética total do aro e c) o vetor velocidade de cada um dos seguintes pontos, do ponto de vista de uma pessoa em repouso sobre o chão:

  1. O ponto mais alto do aro;
  2. o ponto mais baixo do aro;
  3. um ponto do lado direito do aro, a meio caminho entre o topo e a base.

Depois temos que refazer a letra c) adotando o ponto de vista de alguém que se move com a mesma velocidade do aro.

Bom... para isso a gente precisa de alguns conceitos que vamos mostrar no Passo 2.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Desde que está rolando sem escorregar, a aceleração da massa está relacionada à tensão por:

v c m = R ω

Onde v c m é a velocidade do centro de massa, R é o raio e ω é a velocidade angular.

E a energia cinética K é dada por:

K = 1 2 M v c m 2 + 1 2 I c m ω 2

Onde M é a massa do aro e I é o momento de inércia.

E as velocidades dos pontos na borda do aro são como descritas na Figura 10.13, capitulo 10, do livro:

Temos os seguintes dados: ω = 3 r a d / s R = 0,600 m e sabemos que para um aro girando em torno de um eixo no centro:

I = M R 2

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 3

  1. Então, vamos calcular com que velocidade o seu centro está se movendo:
  2. v c m = R ω = 0,600 m ⋅ 3 r a d / s = 1,80 m / s

    Passo 4

  3. A energia cinética total do aro será dada por:
  4. K = 1 2 M v c m 2 + 1 2 I c m ω 2

    ⇒ K = 1 2 M v c m 2 + 1 2 M R 2 v c m R 2 = M v c m 2

    K = 2,20 k g ( 1,80 m / s ) 2 = 7,13 J

    Passo 5

    1. A velocidade no ponto mais alto é dada por:
    2. v = 2 v c m = 3,60 m / s

    3. No ponto mais baixo do aro:
    4. v = 0

    5. Para encontrarmos a velocidade do ponto do lado direito do aro, a meio caminho entre o topo e a base fazemos:

    v = v c m 2 + v t a n 2 = v c m 2 + R ω 2 = 2 v c m = 2,55 m / s  

    Passo 6

  5. Para alguém que se move para a direita em v = v c m , o aro parece girar em torno de um eixo estacionário no centro.
  1. v = R ω = 1,80 m / s   para a direita.
  2. v = R ω = 1,80 m / s para a esquerda.
  3. v = R ω = 1,80 m / s para baixo.

Resposta

  1. v c m = 1,80 m / s
  2. K = 7,13 J

i) v = 3,60 m / s ; ii) v = 0 ; iii) v = 2,55 m / s

d)

i) 1,80 m / s   para a direita; ii) 1,80 m / s para a esquerda; iii) 1,80 m / s para baixo.

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