Enunciado

96 . Um professor de física encontra-se em pé, em repouso, sobre uma plataforma giratória de 5,0   k g e 50   c m de diâmetro capaz de girar sem atrito. Seu ajudante possui uma roda de bicicleta com 64   c m de diâmetro à qual 4,0   k g de pedaços de chumbo foram presos ao aro. Existe um mancal de cada lado do eixo da roda, de modo que se pode segurá-la enquanto ela gira. O ajudante põe a roda a girar a 180   r p m e a mantém girando em um plano horizontal (a rotação se dá em torno de um eixo vertical) tal que a rotação se dá em sentido anti-horário quando vista a partir do teto da sala de aula. Ele, então, entrega a roda girando ao professor.

a . Quando o professor pega a roda pelos mancais laterais e o assistente a solta, algo acontece com o professor? Em caso afirmativo, descreva o movimento do professor e calcule quaisquer grandezas que sejam relevantes. Em caso negativo, explique por que não.

  b . Agora o professor gira o eixo da roda em 180 ° , de modo que o mancal, que antes estava em cima da roda, passa agora a estar embaixo da mesma. Algo acontece com o professor? Em caso afirmativo, descreva o movimento do professor e calcule quaisquer grandezas que sejam relevantes. Em caso negativo, explique por que não.

Sugestão: você precisará usar modelos para tratar tanto o professor quanto a roda. O professor tem uma massa total de 75   k g . Suas pernas e seu tronco somam 70   k g . Eles possuem um diâmetro médio de 20   c m e uma altura de 180   c m . Os braços dele são de 2,5   k g cada, e ele segura a roda mantendo os mancais a 45   c m do centro de seu corpo. Não esqueça de que a roda tanto gira quanto se desloca junto com o professor.

Passo 1

Mas uma questão desafiadora. Uma boa dica é:

Modelar um sistema com o momento angular é conservado porque a plataforma giratória é isenta de atrito e nenhum torque externo atua no sistema.

Letra a

Nada acontece com o professor.

A roda da bicicleta já possui um momento angular e nada muda para a roda quando é entregue ao professor. Então, nada acontece com o professor.

Passo 2

Letra b

Como o momento angular total inicial e final deve ser igual professor deve adquirir algum momento angular. Vamos determinar a frequência, ela é uma grandeza importante.

O momento angular inicial é:

L r o d a i n i c i a l = I ω

Lembre da T a b e l a   12.2 :

L r o d a i n i c i a l = m R 2 ω = 4 k g 0,32 m 2 180 ⋅ 2 π 60 r a d s

L r o d a i n i c i a l = 7,72 k g m 2 / s

Quando ela é posta de cabeça para baixo:

L r o d a f i n a l = - 7,72 k g m 2 / s

Passo 3

Como no sistema o momento angular total inicial e final deve ser igual:

L p r o f + L r o d a f i n a l = L r o d a i n i c i a l

⇒ L p r o f = 15,44 k g m 2 / s

Agora calcular a velocidade angular da plataforma giratória usando:

  L p r o f   =   I t o t a l ω

Onde

  I t o t a l   =   I m e s a g i r a t o r i a   +   I c o r p o   +   I b r a ç o s   + I r o d a - s e g u r a n d o

Desenvolvendo cada um:

I m e s a g i r a t o r i a = 1 2 m T R T 2 = 1 2 0,5 k g 0,25 m 2 = 0,156 k g m 2

I c o r p o = m c o r p o R 2 = 1 2 70 k g 1 , 25 m 2 = 0 , 547 k g m 2

I b r a ç o s = 2 1 3 m c o r p o R 2 = 2 3 2,5 k g 0,45 m 2 = 0 , 338 k g m 2

I r o d a - s e g u r a n d o = m r o d a r 2 = 4 k g 0,45 m 2 = 0,810 k g m 2

⇒ I t o t a l = 1,851 k g m 2    

Finalmente podemos encontrar ω , fazendo:

ω = L p r o f I t o t a l = 15,44 k g m 2 s 1,851 k g m 2

ω = 8,34 r a d / s

ω = 79,7 r p m

Resposta

( a )

Nada acontece com o professor.

A roda da bicicleta já possui um momento angular e nada muda para a roda quando é entregue ao professor. Então, nada acontece com o professor.

( b )

Como o momento angular total inicial e final deve ser igual professor deve adquirir algum momento angular. Foi julgado a frequência como uma grandeza importante:

ω = 79,7 r p m

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