Enunciado

Uma dançarina está girando a 72   r p m em torno de um eixo que passa pelo centro de seus braços esticados (Figura P 9.83 ). Pelas medições biomédicas, a distribuição típica de massa em um corpo humano é a seguinte: Cabeça: 70 % Braços: 13 % (para ambos) Tronco e pernas: 80 % Suponha que você seja essa dançarina. Usando essa informação mais as medidas de comprimento do seu próprio corpo, calcule (a) seu momento de inércia em torno de seu eixo de giro e (b) sua energia cinética de rotação. Use a Tabela 9.2 para modelar aproximações razoáveis para as partes pertinentes do seu corpo.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia da bailarina em torno de seu eixo de giro e a sua energia cinética de rotação.

Considerando uma massa total de m = 90   k g e modelando a cabeça como uma esfera uniforme de raio de 8   c m , o tronco e as pernas como um cilindro sólido uniforme de raio de 12   c m e os braços como hastes delgadas de comprimento de 60   c m .

Assim, podemos usar a equação do momento de inércia para uma esfera sólida uniforme:

I c a b e ç a = 2 5 M R 2

O momento de inércia para um cilindro sólido:

I tronco+ pernas = 1 2 M R 2

E para uma haste que gira em torno de uma extremidade:

I braços  = 1 3 M L 2

O momento de inércia total será a soma dos três momentos.

Vamos lá!

Passo 2

a) Temos o momento de inércia total dado por:

I tot  = I cabeça  + I tronco+ pernas + I braços 

Para m = 90 k g e a velocidade angular:

ω = 72  rev  m i n = 7,5   r a d s

Substituindo os dados na equação do momento de inércia, obtemos:

I tot  = 2 5 ( 0 , 070   m ) ( 0 , 080   m ) 2 + 1 2 ( 0 , 80   m ) ( 0 , 12   m ) 2 + 2 1 3 ( 0 , 13   m ) ( 0 , 60   m ) 2

I tot  = 3 , 3   k g ⋅ m 2

Passo 3

b) Mas ainda não acabou, falta calcular a energia cinética de rotação. Pra isso, vamos usar a fórmula:

K rot  = 1 2 I ω 2

E substituindo a velocidade angular e o momento de inércia calculado no passo anterior, temos:

K rot  = 1 2 3 , 3   k g ⋅ m 2 ( 7 , 5   r a d / s ) 2

K rot  = 93   J

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 3 , 3   k g ⋅ m 2
  2. 93   J
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