Enunciado

9.70. As forças armadas da Nação do Por Que Não têm planos de propelir um pequeno veículo através do campo de batalha atirando balas contra o mesmo, por detrás do veículo. Eles contrataram você como consultor para ajudar em um próximo teste. O veículo de teste, de 100 kg, rola sobre trilhos livres de atrito. Ele possui uma “vela” alta feita de aço extremamente duro. Testes anteriores revelaram que uma bala de 20 g, deslocando-se a 400 m/s, ricocheteia na vela e retorna com 200 m/s de velocidade. O objetivo do projeto é que o veículo atinja uma velocidade de 12 m/s em 20 s. Você deve dizer a eles quantas balas dessas devem ser disparadas por segundo. Um general de cinco estrelas assistirá ao teste, de modo que sua capacidade de, no futuro, conseguir novas consultorias depende do resultado deste teste.

Passo 1

Vamos esquematizar esse projeto da Nação do Por Que Não.

Não parece ser um modo muito eficiente de mover um veículo, mas por que não?

A velocidade final do veículo é muito pequena comparada a velocidade final da bala, por outro lado, a massa da bala é muito pequena comparada a massa do veículo. Vamos assumir que cada bala exerce o mesmo impulso no veículo.

Passo 2

A gente pode usar o teorema impulso-momentum para uma bala

Δ p b = J b

Com isso a gente pode achar o valor do impulso

m b Δ v = J b

0,02 - 200 - 400 = J b

Isso vai dar

J b = - 12 k g ⋅ m s

Então a bala tem esse impulso quando encosta no veículo. Pela terceira lei de Newton, podemos afirmar que o veículo vai ter o mesmo impulso, mas no sentido contrário, ou seja

J b = - J v

Então

J v = - - 12 = 12 k g ⋅ m s

Agora que a gente tem o impulso que uma bala causa no veículo, a gente pode calcular a velocidade que uma bala imprimi no veículo.

Δ p v = J v

m v Δ v = J v

Então

Δ v = J v m v = 12 100 = 0,120 m s

Isso quer dizer que a cada bala que atinge o veículo, sua velocidade aumente em 0,120 m s , isso não depende da velocidade que o veículo está.

Agora que a gente sabe quanto cada bala aumenta de velocidade, e sabemos em que velocidade queremos chegar, basta fazer uma divisão para calcular o número de balas.

N = 12 0,12 = 100   B a l a s

São necessárias 100 balas para o veículo chegar na velocidade de 120 m s .

Agora vamos calcular a taxa de tiros para o veículo chegar nessa velocidade em 20   s .

T = N 20 = 100 20 = 5 b a l a s s

Então tem que atirar 5 balas a cada segundo no veículo para ele chegar à 120 m s em 20 segundos.

Será que o general vai nos consultar de novo no futuro?

Resposta

5 b a l a s s

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