Enunciado

99. Mola com massa. Em todos os problemas anteriores desse capítulo consideramos molas com massas desprezíveis. Porém, é claro que toda mola possui alguma massa. Para estudar o efeito da massa da mola, considere uma mola de massa M , comprimento de equilíbrio L 0 e constante k . Quando ela é comprimida ou esticada até atingir um comprimento L , a energia potencial é 1 2 k x 2 , onde x = L - L 0 . a ) Considere uma mola como descrito anteriormente, porém, com uma extremidade fixa e a outra se deslocando com velocidade v . Suponha que a velocidade ao longo dos pontos do comprimento da mola varie linearmente com a distância l a parti da extremidade fixa. Suponha também que a massa M da mola seja distribuída uniformemente ao longo do comprimento da mola. Calcule a energia cinética da mola em termos de M e v . (Sugestão: Divida a mola em pedaços de comprimento d l ; ache a velocidade de cada pedaço em termos de l ,   v e L ; calcule a massa de cada pedaço em termos de d l ,   M e L e integre de 0 até L . O resultado não é 1 2 M v 2 , visto que a mola não se move com a mesma velocidade em todas as partes.) b ) Tome a derivada em relação ao tempo da lei da conservação da energia, Equação ( 13.21 ) , para um corpo de massa m preso a uma mola sem massa. Comparando os resultados que você obteve com a Equação ( 13.8 ) que definiu ω , mostre que a frequência angular da oscilação é ω = k / m   . c ) Aplique o procedimento indicado na parte ( b ) para obter a frequência angular da oscilação ω da mola considerada na parte ( a ) . Se a massa efetiva da mola M ' for definida por ω = k / M ' , como se escreve M ' em termos de M ?

Passo 1

Considerando uma mola com massa distribuída uniformemente, temos que cada pedaço infinitesimal da mola tem uma massa:

d m = M L d l

Agora tomando a posição de um pedaço da mola por l , então l = 0 é o ponto fixo e   l = L é o final móvel da mola. Então a velocidade do ponto correspondente a l é dada por:

s l = v l L

Tendo essas informações temos que para o item ( a ) , basta pegar a fórmula da energia cinética dada por:

d K = 1 2 d m   s 2

E substituir as informações acima e fazer a integração sugerida pelo enunciado.

Para o item ( b ) a única coisa que temos que fazer é pegar a equação de conservação de energia e derivá-la em relação ao tempo e depois manipular o que encontrarmos.

Para encontrar o que é pedido no item ( c ) vamos fazer a mesma coisa que no item anterior, só que no lugar da energia cinética tradicional, vamos colocar a que encontramos no item ( a ) .

Passo 2

Vamos encontrar agora a energia cinética da mola com massa, temos:

d K = 1 2 d m   s 2

Substituindo com o que temos do passo 1 , ficamos com:

d K = 1 2 M L d l v l L 2

= 1 2 M v 2 L 3 l 2 d l

Agora integrando dos dois lados, temos:

∫ d K = ∫ 0 L 1 2 M v 2 L 3 l 2 d l

⇒ K = 1 2 M v 2 L 3 ∫ 0 L l 2   d l

⇒ K = 1 2 M v 2 L 3 l 3 3 0 L

Então temos que:

K = 1 2 M v 2 L 3 L 3 3

= M v 2 6

Passo 3

A fórmula da conservação energia mecânica é dada por:

1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = E

Derivando os dois lados temos:

m v d v d t + k x d x d t = 0

Sabendo que:

d v d t = a

E

d x d t = v

Então nossa expressão fica:

m v a + k x v = 0

Dividindo os dois lados por v , temos:

m a + k x = 0

Vamos isolar a aceleração, então:

a = - k m x

Se compararmos com a equação 13.8 , dada por:

a = - ω 2 x

Então é possível concluir que:

ω = k m

Passo 4

Agora vamos fazer o mesmo processo do passo anterior de derivar a energia, mas agora no lugar da energia cinética vamos colocar o que encontramos no item ( a ) , já que a mola agora tem massa. Então:

M v 2 6 + 1 2 k x 2 = E

Derivando os dois lados temos:

M v 3 d v d t + k x d x d t = 0

Sabendo que:

d v d t = a

E

d x d t = v

Então nossa expressão fica:

M v 3 a + k x v = 0

Dividindo os dois lados por v , temos:

M a 3 + k x = 0

Vamos isolar a aceleração, então:

a = - 3 k M x

Então é possível concluir que:

ω = 3 k M

Para a massa efetiva da mola, como é fado no enunciado, temos:

ω = k M '

Passo 5

Para a massa efetiva da mola, como é fado no enunciado, temos:

ω = k M '

Isolando a massa nessa fórmula, temos:

M ' = k ω 2

Isolando a massa M na fórmula que encontramos no passo anterior, temos:

M = 3 k ω

Comparando as duas, temos que:

M ' = M 3

Resposta

( a )

K = M v 2 6

( b )

ω = k m

( c )

ω = 3 k M

M ' = M 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13.7. Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 N/, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,0 Hz. Ache a) o período, b) a frequência
13.8. Quando uma massa de 0,750 kg oscila em uma mola ideal, a frequência é igual a 1,33 Hz. Qual será a frequência se 0,220 kg forem adicionados à massa original, e (b) subtraídos à massa original? T
13.9. Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Ache a) o período, b) a frequência, c) a frequência angular das oscilações.
12. Repita o Exercício 13.11 , porém suponha que em t = 0 o bloco possua velocidade - 4,0m / s e deslocamento igual a + 0,200m .
11. Um bloco de 2,0k g sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constate é igual a 300N / m . Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 12,0m / s .