Enunciado

98. a ) Qual é variação Δ T do período de um pêndulo simples quando a aceleração da gravidade g varia de Δ g ? (Sugestão: O novo período T + Δ T   é obtido substituindo-se g + Δ g no lugar de g :

T + Δ T = 2 π L g + Δ g

Para obter uma expressão aproximada, desenvolva em série o fator g + Δ g - 1 / 2 usando o teorema binomial (Apêndice B ) e mantendo apenas os dois primeiros termos:

g + Δ g - 1 / 2 = g - 1 / 2 - 1 2 g - 3 / 2 Δ g + …

Os outros termos contêm potências mais elevadas de Δ g e são muito pequenos se Δ g for pequeno.) Expresse o seu resultado como uma variação fracionária do período Δ T / T em função da variação fracionária Δ g / g . b ) Um relógio de pêndulo mede corretamente o tempo em um local onde g = 9,8000   m / s 2 , mas verifica-se que ele atrasa 4,0   s por dia em um local mais elevado. Use o resultado da parte ( a ) para calcular o valor de g nesse novo local.

Passo 1

Para resolver o item tudo o que temos que fazer é seguir a sugestão do enunciado, temos que:

T + Δ T = 2 π L g + Δ g

Separando os termos que contêm g e Δ g , ficamos com:

T + Δ T = 2 π L g + Δ g - 1 2

Agora basta fazer a expansão proposta pelo enunciado.

Para resolver o item ( b ) temos que usar o resultado do item ( a ) , onde vamos isolar g + Δ g , que é a gravidade do novo local e então substituir os valores que conhecemos.

Passo 2

Vamos achar o que é pedido no item ( a ) , aplicando a expansão do enunciado na fórmula que temos no passo 1 , ficamos com:

T + Δ T = 2 π L g - 1 2 - 1 2 g - 3 2 Δ g

= 2 π L g - 2 π L g Δ g 2 g

Lembrando que:

T = 2 π L g

Temos que:

T + Δ T = T - T Δ g 2 g

⇒ Δ T = - T Δ g 2 g

Escrevendo como o enunciado quer, temos:

Δ T T = - Δ g 2 g

Passo 3

Agora vamos usar o seguinte resultado de ( a ) para resolver o item ( b ) , temos:

Δ T T = - Δ g 2 g

⇒ Δ g = - g 2 Δ T T

Somando um termo g dos dois lados:

Δ g + g = g - g 2 Δ T T

Antes de continuarmos a encontrar a nova gravidade, temos que saber o período inicial do movimento, antes dos acréscimos. O enunciado fala que estamos lidando com um relógio e que ele atrasa 4,0   s por dia então ele tem esse acréscimo no total de segundos que ele tem um dia, que é 86400   s , logo:

T = 86400   s

Então continuando o cálculo, ficamos com:

Δ g + g = 9,8 - 9,8 2 ( 4 ) 86400

Então, temos:

Δ g + g = 9,7991   m / s 2

Resposta

( a )

Δ T T = - Δ g 2 g

( b )

Δ g + g = 9,7991   m / s 2

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