Enunciado

A aceleração de um certo foguete é dada por a x = b t , onde b é uma constante positiva. (a) Encontre a função da posição x ( t ) se x = x 0 e v = v 0 x em t = 0 . (b) Encontre a posição e a velocidade em t = 5,0   s se x 0 = 0 , v 0 x = 0 e b = 3,0   m / s 3 . (c) Calcule a velocidade média do foguete entre t = 4,5   s e 5,5   s em t = 5,0   s se x 0 = 0 , v 0 x = 0 e b = 3,0   m / s 3 . Compare essa velocidade média com a velocidade instantânea em t = 5,0   s .

Passo 1

(a) Para encontrar a posição x ( t ) a partir da aceleração, nós precisamos integrar em relação ao tempo.

A primeira integral dá a velocidade:

v x t = ∫ 0 t a x t d t

v x t = ∫ 0 t b t   d t = 1 2 b t 2 + v 0 x

E a segunda dá a posição:

x t = ∫ 0 t v x t   d t = ∫ 0 t 1 2 b t 2 + v 0 x   d t

x t = 1 6 b t 3 + v 0 x t + x 0

E essa é a função da posição.

Passo 2

(b) Podemos aproveitar as funções que acabamos de encontrar para calcular v ( 5 ) no caso em que x 0 = 0 , v 0 x = 0 e b = 3,0   m / s 3 .

Começamos calculando a velocidade:

v x t = 1 2 b t 2 + v 0 x

v x 5 = 1 2 3 ( 5 ) 2 + 0 = 37,5   m / s

v 5 ≅ 38   m / s

E agora vamos calcular a posição:

x t = 1 6 b t 3 + v 0 x t + x 0

x 5 = 1 6 3 5 3 + 0 5 + 0

x 5 ≅ 63   m

Passo 3

(c) Agora vamos encontrar a média de v ( t ) no intervalo 4,5   s ≤ t ≤ 5,5   s . A fórmula para a média de uma função em um dado intervalo é a seguinte:

v m é d = 1 Δ t ∫ 4,5 5,5 1 2 b t 2   d t

Lembrando que estamos usando v 0 x = 0 e b = 3,0   m / s 3 , e nesse caso teremos Δ t = 5,5 - 4,5 = 1,0   s :

v m é d = 1 1,0   1 6 b t 3 5,5 4,5

v m é d =   3,0 5,5 3 - 4,5 3 6 = 37,6   m / s

v m é d ≅ 38   m / s

Que é, aproximadamente, igual à velocidade instantânea v ( 5 ) que calculamos antes.

Resposta

(a) x t = 1 6 b t 3 + v 0 x t + x 0 .

(b) v 5,0   s = 38   m / s   e x 5,0   s = 63   m .

(c) v m é d = 38   m / s . Resultado igual ao da velocidade instantânea.

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