Enunciado

A FIGURA P2.28 Mostra o gráfico da aceleração de uma partícula que parte do repouso em t =   0   s . Determine sua velocidade nos instantes t =   0   s ,   2   s ,   4   s ,   6   s ,   e   8   s .

Passo 1

Bom galera, primeiro de tudo, vamos desenhar pra melhor visualizar:

Passo 2

Determinaremos a velocidade do objeto usando métodos gráficos primeiro e depois usando cálculo.

Graficamente, v   ( t ) = v 0 + á r e a   s o b   a   c u r v a   d e   a c e l e r a ç ã o   d e   0   a   t . Nesse caso, v 0 = 0   m / s .

A área a cada momento t   solicitado é um triângulo.

t = 0   s : v t = 0 s = v 0 = 0   m / s

t = 2   s : v t = 2   s = 1 2 2   s 5 m s = 5 m s

t = 4   s : v t = 4   s = 1 2 4   s 10 m s = 20 m s

t = 6   s : v t = 6   s = 1 2 6   s 10 m s = 30 m s

t = 8   s : v t = 8   s = v t = 6   s = 30 m s

Passo 3

O último resultado surge porque não há área adicional após t = 6   s . Vamos agora usar o cálculo. A função da aceleração a ( t ) consiste em três partes e pode ser escrita:

a t = 2,5   t             0 ≤ t ≤ 4 s - 5 t + 30         4 s ≤ t ≤ 6 s 0           6 s ≤ t ≤ 8 s

Estes foram determinados pela inclinação e pela interceptação em   y de cada um dos segmentos do gráfico. A função da velocidade é encontrada pela integração da seguinte maneira:

Passo 4

Para 0   ≤   t   ≤   4   s ,

v t = v t 0 s + ∫ 0 t a t d t = 0 + 2,5   t 2 2 0 t = 1,25   t 2

t = 0   s v t = 0 s = 0   m / s

t = 2   s v t = 2 s = 5 m / s

t = 4   s v t = 4 s = 20   m / s

Passo 5

Para 4   s ≤ t ≤ 6   s ,

v t = v t = 4 s + ∫ 0 t a t d t = 20 m s + - 5 t 2 2 + 3 t 4 t = - 2,5 t 2 + 30 t - 60

t = 6   s v t = 6   s = 30   m / s

Passo 6

Para 6   s ≤ t ≤ 8   s ,

v t = v t = 6   s + ∫ 6 t a t d t = 30 m s + 0 m s = 30 m s

Isto dá:

t = 8   s v t = 8   s = 30   m / s

As mesmas velocidades são encontradas usando cálculo e gráficos, mas o método gráfico é mais fácil para simples gráficos.

Resposta

v t = 0 s = v 0 = 0   m / s

v t = 2 s = 5 m / s

v t = 4 s = 20   m / s

v t = 6   s = 30   m / s

v t = 8   s = 30   m / s

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