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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Young and Freedman - Vol 2

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2 - 12.Problemas - 70

Ache a força gravitacional que a Terra exerce sobre uma massa de 10,0 kg se ela for colocada nos seguintes locais. Consulte a Figura 12.9 e suponha uma densidade constante em todas as regiões interiores (manto, núcleo externo, núcleo interno), mas não a esma densidade em todas essas regiões. Use o gráfico para estimar a densidade média de cada região. a) Na superfície da Terra; b) na superfície externa do núcleo esterno liquefeito; c) na superfície do núcleo interno sólido; d) no centro da Terra.

Passo 1

A partir da discussão da Seção 12.6, a força em uma massa pontual a uma distância r do centro de uma distribuição de massa esférica simétrica é a mesma que se removêssemos toda a massa em pontos mais afastados que r do centro e concentrássemos toda a massa restante no centro.

A massa M de uma esfera oca de densidade ρ , raio interno R 1 e raio externo R 2 é

M = ρ 4 3 π ( R 2 3 - R 1 3 ) .

Na Figura 12.9 do livro didático, o núcleo interno possui raio externo de 1,2 × 106 m, raio interno de zero e densidade 1,3 × 10 4   k g / m 3 . O núcleo externo possui raio interno de 1,2 × 10 6   m , raio externo de 3,6 × 10 6   m e densidade de 1,1 × 10 4   k g / m 3 .

A massa total da terra é m T = 5,97 × 10 24   k g e seu raio é R T = 6,38 × 10 6   m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Então, para estimar a densidade média na superfície da Terra:
  2. F g = G m T R T 2 = m g = 10 k g ⋅ 9,80 m / s 2 = 98 N

    Passo 3

  3. A massa do núcleo interno é
  4. m i n t e r n o = ρ i n t e r n o 4 3   π R 2 3 - R 1 3 = 1,3 × 10 4 k g m 3 4 3 π 1,2 × 10 6   m 3 = 9,4 × 10 22   k g .  

    A massa do núcleo externo é

    m e x t e r n o = ( 1,1 × 10 4   k g / m 3 )   π   ( 3,6 × 10 6   m 3 - 1,2 × 10 6   m 3 ) = 2,1 × 10 24   k g .

    Somente os núcleos interno e externo contribuem para a força.

    F g = ( 6,67 × 10 11 N ⋅ m 2 / k g 2 )   9,4 × 10 22 k g + 2,1 × 10 24 k g 10 k g 3,6 × 10 6   m 2 = 110 N .

    Passo 4

  5. Somente o núcleo interno contribui para a força e
  6. F g = ( 6,67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 )   9,4 × 10 22 k g 10 k g 1,2 × 10 6 m 2 = 44 N .

    Passo 5

  7. Em r = 0 :

F g = 0 ,

Neste modelo, a Terra é esférica simétrica, mas não uniforme, portanto, o resultado do Exemplo 12.10 não se aplica. Em particular, a força na superfície do núcleo externo é maior que a força na superfície do núcleo da Terra.

Resposta

  1. F g = 98 N
  2. F g = 110 N
  3. F g = 44 N
  4. F g = 0

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