Enunciado

Uma partícula de 2,0   g se move com a rapidez constante de 3,0   m m / s em torno de um circulo de 4,0   m m de raio. (a) Determine a magnitude da quantidade de movimento angular da partícula. (b) Se L = l l + 1 ℏ , onde l é um inteiro, determine o valor de l l + 1 e o valor aproximado de l . (c) De quanto varia l , se a rapidez da partícula aumenta de um milionéismo de por cento, e nada mais varia? Use seu resultado para explicar por que a quantização da quantidade de movimento angular não é percebida na física macroscópica.

Passo 1

a) Como a partícula se move em torno de um torno de um círculo, temos o seguinte:

L = m v r ⋅ s e n ( θ )

Mas a velocidade é sempre perpendicular ao raio no circulo. Então θ = 90 ° → s e n θ = 1

L = m v r

Substituindo os valores:

L = 2 ⋅ 10 - 3 k g ⋅ 3 ⋅ 10 - 3 m s ⋅ 4 ⋅ 10 - 3 m =   24 ⋅ 10 - 9   k g ⋅ m 2 s

Passo 2

b) Agora que já sabemos o L , podemos usar o que ele disse no enunciado. Olha só:

L = l l + 1 ℏ → L ℏ = l ⋅ l + 1

Isto é,

L ℏ 2 = l ⋅ l + 1

Do item de cima: L = 24 ⋅ 10 - 9   k g ⋅ m 2 s . Além disso, ℏ = 1,05 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s

Logo,

24 ⋅ 10 - 9   k g ⋅ m 2 s 1,05 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s 2 = l ⋅ l + 1

Supondo l ≫ 1 :

24 ⋅ 10 - 9   k g ⋅ m 2 s 1,05 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s 2 = l ⋅ l = l 2

Fazendo as contas:

l ≅ 23 ⋅ 10 25

Passo 3

Agora pra acabar! Se nossa velocidade aumentar um milionésimo de por cento:

v 2 = v ⋅ 1 + 10 - 8

Como L é proporcional a v

L = m v r → L 2 = L ( 1 + 10 - 8 )

l 2 ⋅ l 2 + 1 = L 1 + 10 - 8 ℏ 2

Supondo l 2 ≫ 1 :

l 2 ≅ L 1 + 10 - 8 ℏ

Como ele quer saber l - l 2 :

l 2 - l = L 1 + 10 - 8 ℏ - L ℏ = L ℏ ⋅ 10 - 8

Como já fizemos a conta de L ℏ no item (a):

l 2 - l = 23 ⋅ 10 25 ⋅ 10 - 8 = 23 ⋅ 10 17

Δ l l = 23 ⋅ 10 17 23 ⋅ 10 25 = 10 - 6   %

Portanto, podemos concluir que a quantização não é percebida na física macroscópica pois nenhum experimento pode detectar uma alteração de l da ordem de 10 - 6   % .

Resposta

  1. L T L M ≅ 33
  2. K T K M ≅ 33
  3. L T L M o r b ≅ 8
  4. K T K M ≅ 14

A quantização não é percebida na física macroscópicam pois nenhum experimento pode detectar uma alteração de l da ordem de 10 - 6   % .

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