Enunciado

De acordo com a lei das atmosferas, a diminuição fracionária da pressão atmosférica é proporcional à mudança de altitude. Esta lei pode ser expressa como a equação diferencial d P P = - C d h onde C é uma constante positiva. (a) Mostre que P h = P 0 e - C h , onde P 0 é a pressão na altura = 0, é uma solução da equação diferencial. (b) Dado que a pressão 5.5km acima do nível do mar é metade da pressão ao nível do mar, encontre a constante C.

Passo 1

Beleza galera, a primeira coisa que devemos lembrar nessas questões de derivadas é que podemos derivar achando as funções originais. Vamos imaginar o problema. Podemos diferenciar a função P ( h ) para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial d P P   = - C d h e no item (b) podemos usar a aproximação e -   ≈ 1 - x     e   Δ h ≪ h 0 para estabelecer o resultado fornecido.

Passo 2

Vamos primeiro derivar a função P h para mostrar que isso satisfaz a equação diferencial d p P = - C   d h .

d P d h = - C P 0 e - C h = - C P

d P P = - C d h

Passo 3

Para o item b), vamos usar a aproximação e - x ≅ 1 - x e ∆ h ≪ h 0 para estabelecer o resultado dado. Vamos aplicar o logaritimo nos dois lados da função P ( h ) .

l n P = ln ⁡ P 0 e - C h = l n P 0 - C h

Resolvendo para C:

C = 1 h ln ⁡ P 0 P

Aplicando valores numéricos:

C = 1 5.5     k m ln ⁡ P 0 1 2 P 0 = 1 5.5   k m   l n 2 = 0.13   k m - 1

Resposta

d P P = - C d h

C = 0.13 k m - 1

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