Enunciado

Água escoa através de um cano de 1,0 m de comprimento e de seção cônica, que conecta um cilíndrico de 0,45 m de raio, à esquerda, com um cano cilíndrico de 0,25 m de raio, à direita. Se a água fui dentro do cano de 0,45 m com uma rapidez de 1,50 m/s, (a) qual é a rapidez do fluxo no cano de 0,25 m? (b) Qual é a rapidez do fluxo em uma posição x da seção cônica, se x é a distância medida da extremidade da esquerda desta seção.

Passo 1

Vamos fazer um esqueminha da questão só para facilitar.

Temos a seção 1, antes da parte do cone, e a seção 2, depois da parte do cone. E temos uma seção genérica S x dentro da parte cônica. Aí reunindo os dados que ele deu sobre essas seções num desenho:

a) Queremos descobrir v 2 . Como o fluido que temos é água, podemos considerar que ele é incompressível e que assim vale o principio da continuidade, que diz que a vazão volumétrica é a mesma em todos os pontos.

Assim temos que as vazões volumétricas I v = A v nos pontos 1 e 2 são iguais.

I v 1 = I v 2

A 1 . v 1 = A 2 . v 2

Onde:

A 1 e A 2 são as áreas das respectivas seções

v 1 e v 2 são as velocidades de fluxo nas respectivas seções

Logo, como queremos saber o valor numérico de v 2 , vamos isolá-lo na equação, meus queridos:

v 2 = v 1 A 1 A 2

Como ele nos deu raios das seções, consideramos que as seções são circulares

A = π r 2

Como consequência disso:

v 2 = v 1 π r 1 2 π r 2 2

v 2 = v 1 r 1 2 r 2 2

Agora, vamos aplicar os valores dados pela questão:

v 2 = v 1 r 1 r 2 2

v 2 = 1,50 0,45 0,25 2

v 2 = 4,9 m / s

Passo 2

b) Queremos a velocidade na parte cônica em função de x . Não se assusta com a reposta em função de x , calma, a gente vai conseguir.

Para resolvermos a letra b) iremos seguir alguns passos, mas, inicialmente, vamos fazer uma ilustração do problema:

O principio da continuidade vale para todo o tubo, então podemos usa-los novamente. Podemos compara a seção S x com a seção 1:

I v 1 = I v x

A 1 v 1 = A ( x ) v ( x )

Como queremos saber v ( x ) em função apenas da variável x vamos isolá-lo:

v x = A 1 . v 1 1 A ( x )

Lembrando que

A = π r 2

Então

v x = π r 1 2 . v 1 1 π r x 2

Substituindo os dados que temos:

v x = π 0,45 2 * 1,5 * 1 π r x 2

Passo 3

Falta a gente achar o raio em função de x , né? Podemos usar semelhança de triângulos, nesse triângulo azul mais escuro

Fazemos assim

r x - 0 , 2 5 1 - x = 0,45 - 0,25 1

r x = 0,2 1 - x + 0,25

r x = 0,45 - 0,2 x

Substituindo em v x :

v x = π 0,45 2 * 1,5 * 1 π r x 2

v x = 0,45 2 * 1,5 * 1 r x 2

v x = 0,45 2 * 1,5 * 1 0,45 - 0,2 x 2

v x = 0 , 304 0,45 - 0,2 x 2

Resposta

a) v 2 = 4,9 m / s b) v ( x ) = 0 , 304 0,45 - 0,20 x 2 m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A água flui através de um tubo de Venturi, com um diâmetro d 1 = 9,50 c m e um diâmetro de constrição d 2 = 5,60 c m . O manômetro com tubo em forma de U está parcialmente preenchido com mercúrio. Enc
O sangue flui a 30 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. (a) Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto. (b) A seção reta de um vaso capilar tem uma área muito menor do que a da aorta; mas há mui
a) Sabendo que um certo volume de água flui por uma mangueira com diâmetro d 1 = 3,0 cm e com velocidade de fluxo igual a v 1 = 0,65 m/s até a extremidade de um bocal com diâmetro d 2 = 0,30 cm, qual
A água corre para dentro de uma fonte, enchendo todos os tubos, a uma taxa constante de 0,750m 3 / s . (a) Com que velocidade a água jorraria de um buraco de 4,50 cm de diâmetro? (b) Com que velocidad