Enunciado

O sangue flui a 30 cm/s em uma aorta de 9,0 mm de raio. (a) Calcule a vazão volumétrica em litros por minuto. (b) A seção reta de um vaso capilar tem uma área muito menor do que a da aorta; mas há muitos vasos capilares, e portanto, sua área total de seção reta é muito maior. Se todo o sangue da aorta escoa para os vasos capilares e se a rapidez de escoamento através deles é 1,0   m m / s calcule a área total de seção reta dos vasos capilares.

Passo 1

a) Queremos a vazão volumétrica, certo? Então vamos usar a fórmulinha dela:

I v = A v

Onde:

I v é a vazão;

A é a área da secção;

v é a velocidade de escoamento do fluido.

Como ele deu um raio para a seção transversal da aorta,

r = 9   m m = 9 ⋅ 10 - 3 m

Vamos considerar que a aorta é como se fosse uma mangueira por onde o sangue passa. Se cortamos um pedacinho dela, o corte ficará no formato circular, assim a seção transversal será circular, e podemos calcular a sua área fazendo:

A = π r 2

Agora que já temos o formato da seção reta, é só correr pro abraço e substituir nossos dados na fórmula da vazão que era:

I v = A v

I v = π r 2   v

Usando os dados que o enunciado deu. Vamos passar a velocidade para metros por segundo:

v = 30 m/s = 30 ⋅ 10 - 2 m/s

Vamos substituir os valores dados na questão na fórmula de vasão. Lembrando que:

r = 9 ⋅ 10 - 3 m

v = 30 ⋅ 10 - 2 m/ s

I v = A v

Assim ficamos com:

I v = π 9 ⋅ 10 - 3 2   × ( 30 ⋅ 10 - 2 )

I v = 7630 ⋅ 10 - 8   m 3 /s

Passo 2

Agora a gente precisa passar isso para L / m i n como ele pediu no enunciado.

Lembrando que:

1 L = 0,001 m 3

Como achamos a vasão em m 3 / s , nós vamos isolar o m 3 :

m 3 = 1 0,001 L

Agora vamos fazer a mesma coisa para o tempo, lembrando que:

1 m i n = 60 s

Isolando o segundo:

1 s = 1 60 m i n

Agora vamos pegar nosso resultado e fazer a conversão das unidades uma a uma, sendo:

 m³/s   = m³ ⋅ 1 s

m³ ⋅ 1 s = 1 0,001 L ⋅ 1 1 60 m i n

Assim:

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 1 0,001 L ⋅ 1 1 60 m i n

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 ⋅ 1 0,001 ⋅ L m i n

Podemos subir o 0,001 como 10 3

I v = 7630 ⋅ 10 - 8 ⋅ 60 ⋅ 10 3  L/min

E agora é só calcular:

I v = 4,578 L/min

Prontinho, arredondamos e colocamos no formato que o enunciado pediu

I v = 4,6   L/min

Passo 3

Para resolver a letra b) iremos considerar como ele disse que os vasos capilares formam juntos um único tubo com a seção reta bem grande. Aí queremos a seção desse tubo, que representa a seção total de todos os capilares.

Ele diz que podemos considerar também que todo sangue sai da aorta e vai para os capilares, ou seja, há conservação de volume. Por isso, podemos usar a equação da continuidade de volume

I v a o r t a = I v c a p i l a r e s

A quantidade de sangue que sai da aorta vai ser a mesma que entra nos capilares. Logo a vazão volumétrica é sempre a mesma. Já achamos I v a o r t a no item anterior

I v a o r t a = 7630 ⋅ 10 - 8 m 3 / s

Então podemos substitui-lo na equação da conservação

7630 ⋅ 10 - 8 = I v c a p i l a r e s

Podemos substituir a expressão da vazão I v = A v no lado direito da nossa equação, sendo v

v = 1,0 m m s = 1 ⋅ 10 - 3 m / s  

a velocidade do sangue nos capilares e A a área da seção, que queremos achar

7630 ⋅ 10 - 8 = A v

7630 ⋅ 10 - 8 = A ⋅ 1 ⋅ 10 - 3

Queremos encontrar a área de secção dos vasos capilares, logo vamos isolar A :

A = 7630 ⋅ 10 - 8 1 ⋅ 10 - 3

A = 7,6 ⋅ 10 - 2 m 2

Resposta

a) I v = 4,6   L / m i n

b) A = 7,6 ⋅ 10 - 2 m 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura abaixo mostra dois segmentos de uma antiga tubulação que atravessa uma colina; as distâncias são d A=d B=30meD=110m . O raio do cano do lado de fora da colina é 2,00c m ; o raio do cano no in
Dois riachos se unem para formar um rio. Um dos riachos tem um largura de 8,21m , uma profundidade de3,4m e a velocidade da água é 2,3m / s . Outro riacho tem 6,8m de largura , 3,2m de profundidade e
O comprimento das pistas de pouso e decolagem de aeroportos situados em altitudes elevadas é maior que o das pistas de aeroportos situados ao nível do mar. Uma razão para isso é que o motor do avião d
Reparo doméstico. Você precisa estender um tubo com diâmetro de 2,50 pol, mas tem apenas um tubo de 1,00 pol de diâmetro disponível. Você usa uma conexão para unir esses tubos de uma ponta à outra. Se
Uma mangueira de incêndio deve poder lançar água no topo de um prédio de 28,0 m de altura quando apontada para cima. A água entra na mangueira a uma taxa constante de 0,500 m 3 / s e sai por um esguic