Enunciado

A água flui por um tubo horizontal com velocidade de fluxo igual à v 1 = 3,00 m/s e sob uma pressão P 1 = 200 kPa. Em determinado momento, o diâmetro do tubo pelo qual a água escoa é reduzido pela metade.

a) Qual será a velocidade do fluxo na secção menor?

b) Qual será a pressão na secção menor?

c) Como as taxas de fluxo das duas secções são comparadas?

Passo 1

Para resolvermos a letra a), meus consagrados, iremos fazer uso da equação da continuidade, dada por:

A 1 . v 1 = A 2 . v 2

Onde:

A 1 e A 2 são as áreas das respectivas extremidades;

v 1 e v 2 são as velocidades de fluxo nas respectivas extremidades.

Logo, como queremos saber o valor numérico de v 2 , vamos isolá-lo na equação, meus queridos:

v 2 = v 1 A 1 A 2

Passo 2

Para prosseguirmos, precisaremos lembrar de uma coisinha, já que iremos considerar as extremidades como sendo circulares:

A = π r 2

Como consequência disso:

v 2 = v 1 π r 1 2 π r 2 2

v 2 = v 1 d 1 2 4 d 2 2 4

v 2 = v 1 d 1 d 2 2

Onde: d 1 = 2 d 2

Teremos:

v 2 = v 1 2 d 2 d 2 2

v 2 = 4 v 1

Agora, vamos aplicar os valores dados pela questão:

v 2 = 4 . 3,00

v 2 = 12 m/s

Passo 3

Como consequência do resultado da letra a), iremos responder a letra b) fazendo uso da equação de Bernoulli:

P 1 + p g h 1 + 1 2 p v 1 2 = P 2 + p g h 2 + 1 2 p v 2 2

Notem que a questão nos informa que ambas as extremidades estão à mesma altura, portanto podemos cancelar a expressão p g h de ambos os lados da equação e passamos a ter:

P 1 + 1 2 p v 1 2 = P 2 + 1 2 p v 2 2

Como queremos P 2 , vamos isolá-lo, meus amigos:

P 2 = P 1 + 1 2 p v 1 2 - 1 2 p v 2 2

P 2 = P 1 + 1 2 p ( v 1 2 - v 2 2 )

Lembrando que:

p a = 1.10 3 k g / m 3 (densidade da água);

1atm=101325Pa.

Agora, vamos somente substituir os valores que temos em mãos:

P 2 = 200.000 + 1 2 1.10 3 . ( 3 2 - 12 2 )

P 2 = 200.000 + 1 2 . 1000.135

P 2 = 200.000 - 67.500

P 2 = 132.500 P a = 1,325 . 10 5 P a

P 2 = 1,325.10 2 k P a

Passo 4

Sabemos que, também pela equação da continuidade:

I m 1 - I m 2 = d m 12 d t

Entretanto, a questão nos informa que devemos considerar um fluxo de estado estacionário, logo, essa informação nos assegura que: d m 12 d t = 0

Com isso, teremos que:

I m 1 - I m 2 = 0

I m 1 = I m 2

Onde: I v = A . v

Resposta

a) v 2 = 12 m/s b) P 2 = 1,325.10 2 k P a c) I m 1 = I m 2

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