Enunciado

Alexandre e Roberto estão correndo lado a lado, em uma trilha no parque, com uma rapidez de 0,75 m/s. Subitamente, Alexandre vê o fim da trilha, 35 m adiante, e decide apressar-se para alcançá-la. Ele acelera à taxa constante de 0,50 m/s², enquanto Roberto continua com a rapidez constante. (a) Quanto tempo leva Alexandre para atingir o fim da trilha? (b) Assim que chega ao fim da trilha, ele se vira e passa, imediatamente, a percorrê-la no sentido oposto, com uma rapidez constante de 0,85 m/s. Quanto tempo ele leva para encontrar Roberto? (c) A que distância do fim da triçha os dois estão quando se encontram?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Ele quer saber o tempo que Alexandre leva para chegar ao fim da trilha. E nos dá sua aceleração a = 0,5   m / s 2 , a distância a ser percorrida Δ x = 35   m e a velocidade inicial dele v 0 = 0,75   m / s .

Como a aceleração é constante, podemos usar a expressão que relaciona essas grandezas que ele deu e a grandeza que ele quer, o tempo t :

∆ x = v 0 t + 1 2 a t 2

Substituindo os valores, temos:

35 = 0,75 t + 1 2 0,5 t 2

Resolvendo a equação, temos:

t = 10,43   s

Passo 2

b) Queremos saber quanto temo Alexandre leva para sair do fim da trilha, voltar e encontrar Roberto.

Para resolver o item (b) temos que encontrar o ponto que Roberto estava quando Alexandre chega ao fim da trilha em t = 10,43 . Como Roberto continua na velocidade constante, vamos usar

x r = x 0 , r + v   t

x r = x 0 , r + 0,75   t

Considerando que a origem de x está no ponto a 35   m do fim da trilha, temos que a posição inicial de Roberto é x 0 . r = 0 . Substituindo isso e o tempo que Alexandre levou para chegar ao fim da trilha

x r = 0,75 ⋅ 10,43

x r = 7,823   m

Esta é a nova posição inicial de Roberto, quando Alexandre está no fim da trilha.

Passo 3

Queremos saber quanto tempo leva a partir daí para eles se encontrarem. Se eles se encontram, a posição final é a mesma

x r f = x a f

Onde x r f é a posição final de Roberto e x a f é a posição final de Alexandre. A posição final de Roberto pode ser dada pela equação

x r f = x r + v   t

x r f = x r + 0,75   t

Que é a posição para velocidades constantes. Substituindo o que a gente achou para x r :

x r f = 7,823   + 0,75   t

E a posição final de Alexandre é dada pela equação que considera velocidade constante também, porque ao voltar, Alexandre anda a uma velocidade constante de 0,85 m / s .

x a = x 0 , a - 0,85 t

A posição inicial dele para esse movimento é o fim da trilha, então x 0 . a = 35   m

x a = 35 - 0,85 t

Igualando as equações, temos:

x r f = x a f

7,823 + 0,75 t = 35 - 0,85 t

1,6 t = 27,2

t = 17   s

Então Alexandre leva 17 s para encontrar Roberto depois que sai do fim da trilha. Se a gente quiser o tempo total, para Alexandre chegar até o fim da trilha e depois encontrar Roberto, teremos

t t o t a l = 17 + 10,43

t t o t a l = 27,43   s

Passo 4

c) Queremos a distância deles em relação ao fim da trilha quando se encontram.

Para saber a distância que estão do fim da trilha ao se encontrarem, é só estudar a posição de um deles. Vamos ver a de Roberto.

Sabemos que a equação que descreve seu movimento a partir do ponto instante onde Roberto está no fim da trilha é

x r f = x r + v   t

x r f = 7,823   + 0,75   t

Vimos que depois de 17 s , eles se encontram. Então é só substituir esse instante aí, para saber a posição final deles:

x r = 7,823 + 0,75 ⋅ 17

x r = 20,6   m

Logo, a distância deles para o fim da trilha que está em x = 35 m é

d = 35 - 20,6

d = 14,4   m

Resposta

a ) t = 10,43   s

b ) t t o t a l = 27,43   s

c ) d = 14,4   m

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