Enunciado

Uma amostra constituída por n moles de um gás ideal está inicialmente a uma pressão P 1 , com um volume V 1 e à temperatura T q . O gás se expande isotermicamente até que sua pressão e

volume sejam P 2 e V 2 . Depois, ele se expande adiabaticamente até que sua temperatura seja T f e sua pressão e volume sejam P 3 e V 3 . A seguir, ele é comprimido isotermicamente até que sua pressão seja P 4 e seu volume V 4 , que está relacionado ao seu volume inicial V 1 por T f V 4 γ - 1 = T q V 1 γ - 1 .   O gás é, então, comprimido adiabaticamente até voltar ao seu estado original.

  1. Supondo que cada processo seja quase estático, represente este ciclo em um diagrama PV. (Esse ciclo é conhecido como ciclo de Carnot para um gás ideal.)
  2. Mostre que o calor Q q , absorvido durante a expansão isotérmica em T q é Q q = n R T q . ln ⁡ V 2 V 1 .
  3. Mostre que o calor Q f , liberado pelo gás durante a compressão isotérmica em T f é Q f = n R T f . ln ⁡ V 3 V 4 .
  4. Usando o resultado que T V γ - 1 é constante para uma expansão adiabática quase estática, mostre que V 2 V 1 = V 3 V 4 .
  5. A eficiência de um ciclo de Carnot é definida como o trabalho líquido realizado pelo gás, dividido pelo calor Q q   absorvido pelo gás. Usando a primeira lei da termodinâmica, mostre que a eficiência vale 1 - Q f Q q   .
  6. Usando seus resultados das partes anteriores deste problema, mostre que Q f Q q   = T f T q   .

Passo 1

Legal gente, de início dá um pouco de medo essa questão, mas com calma conseguimos. A letra a é bem tranquila, já temos todos os dados que precisamos e sabemos que se trata de um ciclo de Carnot.

No diagrama PV:

Essa foi fácil !

Na letra b queremos calcular o calor Q q   , absorvido durante a expansão isotérmica. Se a temperatura é constante:

T = T q  

Então todo o calor absorvido pelo gás é usado para realizar trabalho e não varia sua energia interna.

O que concluímos disso? Que ∆ E i n t = 0 .

Então, pela primeira lei da termodinâmica:

Q q = W 1 → 2

Na expansão isotérmica, temos uma fórmula bem simples para o trabalho:

W 1 → 2 = n R T q   . ln ⁡ V 2 V 1

Se lançarmos no calor absorvido:

Q q = n R T q   . ln ⁡ V 2 V 1

Bem parecida com essa letra b é a letra c. Mas agora faremos a análise para Q f . Aqui também ocorre um processo isotérmico,

T = T f  

Sendo assim:

∆ E i n t = 0

Então:

Q f = W 3 → 4

Sabendo que:

W 3 → 4 = n R T f   . ln ⁡ V 4 V 3

No calor:

Q f = n R T f   . ln ⁡ V 4 V 3

Ou:

Q f = - n R T f   . ln ⁡ V 3 V 4

Onde o sinal menos indica que o calor esta sendo liberado durante o processo.

É isso ai, já fizemos três letras. Vamos continuar as demais nos próximos passos!

Passo 2

Queremos analisar a relação entre os volumes para processos adiabáticos. Neste caso, temos 2 → 3 e 4 → 1 ocorrendo adiabaticamente.

Assumindo que:

T V γ - 1 = c o n s t a n t e

Podemos analisar para cada um dos intervalos. Começando por 2 → 3 .

Sabendo que a temperatura em 2 é T q e em 3 é T f :

T q V 2 γ - 1 = T f V 3 γ - 1

Removemos os expoentes:

V 2 T q 1 γ - 1 = V 3 T f 1 γ - 1

Separando os volumes:

V 2 V 3 = ( T f T q )   1 γ - 1

Para 4 → 1 ,   sabendo que a temperatura em 1 é T q e em 4 é T f :

T q V 1 γ - 1 = T f V 4 γ - 1

Removemos os expoentes:

V 1 T q 1 γ - 1 = V 4 T f 1 γ - 1

Separando os volumes:

V 1 V 4 = ( T f T q )   1 γ - 1

Ou seja:

V 1 V 4 = V 2 V 3

Rearranjando:

V 2 V 1 = V 3 V 4

Passo 3

A próxima é a letra e. E aqui queremos saber a eficiência do ciclo, sabendo que ela é dada por:

ε = W p e l o   g á s Q q

Pela primeira lei da nossa querida termodinâmica, temos:

∆ E i n t = Q c i c l o + W s o b r e   o   g á s

Como estamos falando de ciclo, o estado final é igual ao inicial. E quando pensamos assim fica fácil enxergar que a temperatura também será mantida a mesma. Se não há variação da temperatura concluímos que:

∆ E i n t = 0

Ou seja:

W s o b r e   o   g á s = - Q c i c l o

Agora vem algo importante. O calor do ciclo é dado pelo calor absorvido menos o liberado:

Q c i c l o = Q q - Q f

Substituindo:

W s o b r e   o   g á s = - ( Q q - Q f )

Estes dois trabalhos se relacionam:

W p e l o   g á s = - W s o b r e   o   g á s = Q q - Q f

Na fórmula da eficiência:

ε = Q q - Q f Q q = 1 - Q f Q q

Passo 4

Na última, mas não menos importante, letra f queremos provar que Q f Q q   = T f T q   .

Vamos usar para isso as equações obtidas para o calor nas letras b e c:

Q f Q q   = n R T f   . ln ⁡ V 3 V 4 n R T q   . ln ⁡ V 2 V 1 = T f   . ln ⁡ V 3 V 4 T q   . ln ⁡ V 2 V 1

Da letra d obtivemos que:

V 3 V 4 = V 2 V 1

Então:

Q f Q q   = T f   . ln ⁡ V 2 V 1 T q   . ln ⁡ V 2 V 1

Concluindo:

Q f Q q   = T f   T q  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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