Enunciado

No ponto D da Figura 18-24, a pressão e a temperatura de 2 mol de um gás monoatômico ideal são 2 atm e 360 K, respectivamente. O volume do gás no ponto B do diagrama PV é igual a três vezes o volume no ponto D e sua pressão é o dobro da pressão no ponto C. Os caminhos AB e CD representam processos isotérmicos. O gás é conduzido através de um ciclo completo ao longo do caminho DABCD. Determine o trabalho realizado pelo gás e o calor por ele absorvido, em cada etapa do ciclo.

Passo 1

Bom, o exercício nos pede o trabalho total do ciclo. O trabalho total pode ser calculado como a área dessa figura geométrica, que nós não sabemos.

Então vamos com calma, para calcular o trabalho total podemos calcular o trabalho realizado por cada etapa do ciclo:

W t o t a l = W A → B + W B → C + W C → D + W D → A

Rapidamente vocês podem perceber que o caminho de B → C e D → A não apresenta variação no volume.

Se não há variação no volume então não há trabalho. Não se esqueçam!

Sendo assim:

W B → C = W D → A = 0

Nosso trabalho total já vai mudar de cara:

W t o t a l = W A → B + W C → D

Vamos calcular cada um separadamente.

Passo 2

Começaremos calculando o trabalho do caminho C → D .   Sabemos que esse processo é uma expansão isotérmica:

T C = T D = 360   K

Neste caso o trabalho pode ser calculado como:

W p e l o   g á s ,     C → D = n R T . ln ⁡ V D V C

O problema aqui é que não sabemos nenhum dos volumes. Então vamos evidenciar o que o problema nos forneceu e ver se assim conseguimos:

n = 2   m o l

P D = 2   a t m

V B = V C = 3 V D = 3 V A

P B = 2 P C

Legal! Temos uma relação entre eles, certo? Então bora substituir:

W p e l o   g á s ,     C → D = n R T . ln ⁡ V D 3 V D = n R T . ln ⁡ 1 3

W p e l o   g á s ,     C → D = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 360   K . ln ⁡ 1 3 = - 6,58   k J

Optamos por começar por esse caminho, porque tínhamos mais informações ao seu respeito. Mas bora achar o próximo.

No caminho A → B não temos a temperatura, mas sabemos que este caminho também é isotérmico, ou seja, podemos achá-la usando o ponto A ou B, de acordo com a lei dos gases:

P A V A = P B V B = n R T

Não temos quase nada, para achar essas pressões e volumes. O que fazer agora?

Vamos trabalhar com o que temos. Se vocês observarem, nós temos tudo o que precisamos para calcular o volume para o ponto D usando a lei dos gases:

P D V D = n R T D

Vamos isolá-lo:

V D = n R T D P D

E agora substituir:

V D = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 360   K 2   a t m   x   101 325   P a a t m = 29,54   L

Temos que

V D = V A = 29,54   L

E que:

V C = V B = 3 V A = 88,62   L

Legal! Já achamos todos os volumes. Agora vamos conseguir as pressões. Neste caso podemos usar a lei dos gases para o ponto C, porque é o único ponto, além do D, para o qual temos temperatura e volume:

P C V C = n R T C

Isolando:

P C = n R T C V C

Substituindo:

P C = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 360   K 88,62   L   x   1 0 - 3   m ³ L = 6,7 x 10 4 P a   x a t m 101325   P a = 0,67   a t m

Se sabemos que:

P B = 2 P C

P B = 1,33   a t m

Ufa ! Fizemos muita coisa, mas agora conseguimos a temperatura do caminho A → B   usando os dados para o ponto B:

P B V B = n R T

Substituindo:

1,33   a t m   x 101325   P a a t m ( 88,62   L   x 10 - 3 m 3 L ) = 2   m o l s 8,314 J m o l . K T

T = 720   K

Agora sim, temos tudo o que precisamos para calcular o trabalho:

W p e l o   g á s ,     A → B = n R T . ln ⁡ V B V A

Substituindo:

W p e l o   g á s ,     A → B = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 720   K . ln ⁡ 88,62   L 29,54   L = 13,15   k J

Para finalizar esta parte, o trabalho total, passo 1, será:

W t o t a l = 13,15   k J - 6,58   k J = 6,6   k J

Passo 3

Não acabou ainda! Precisamos do calor de cada etapa do ciclo. Vamos por parte os caminhos que mantinham seu volume constante, usavam todo o calor absorvido para alterar sua energia interna, já que não realizavam trabalho.

Sendo assim, segundo a lei da termodinâmica:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o

A variação da energia pode ser calculada como:

∆ E i n t = g 2 . n R ∆ T

Neste caso, g são os graus de liberdade do gás. Para um gás monoatômico, g = 3 :

Q a b s o r v i d o = 3 2 . n R ∆ T

Para o caminho D → A :

Q D → A = 3 2 . 2   m o l s 8,314 J m o l . K 720   K - 360 K = 8,98   k J

Para o caminho B → C :

Q B → C = 3 2 . 2   m o l s 8,314 J m o l . K 360 K - 720 K = - 8,98   k J

Nos demais caminhos ocorre o inverso. Sua temperatura não se altera, então o gás usa todo seu calor absorvido para realizar trabalho:

Q a b s o r v i d o = W p e l o   g á s

Nestes casos o trabalho pode ser definido como:

W p e l o   g á s = n R T . ln ⁡ V f V i

Ou seja,

Q a b s o r v i d o = n R T . ln ⁡ V f V i

Para A → B :

Q A → B = n R T . ln ⁡ V B V A

Q A → B = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 720   K ln ⁡ 88,62   L 29,54   L = 13,15   k J

Para C → D :

Q C → D = n R T . ln ⁡ V D V A

Q C → D = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 360 0   K ln ⁡ 29,54   L 88,62   L = - 6,58   k J

Resposta

W t o t a l = 6,6   k J

Q A → B = 13,15   k J   Q B → C = - 8,98   k J   Q C → D = - 6 , 58   k J |   Q D → A = 8,98   k J

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