Enunciado

Uma ampulheta é formada, de cada lado, por um tronco de cone circular de altura h = 10   c m , raio da base maior R = 10   c m , e raio da base menor r = 0,1   c m . Após enchê-la de água até a metade, ela é invertida. (a) Calcule a velocidade inicial de descida do nível da água; (b) Calcule a velocidade de descida do nível depois de ele ter baixado de 5   c m ; (c) Que forma deveria ter a superfície lateral (de revolução) da ampulheta para que o nível da água baixasse uniformemente (relógia de água)?

Passo 1

(a) Para calcular a velocidade inicial de descida, vamos começar aplicando a equação de Bernoulli entre dois pontos P 1 e P 2 :

p 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

Ambos os pontos estão na superfície do volume de líquido, então p 1 = p 2 :

ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

Podemos definir que a altura do ponto P 2 é z 2 = 0 e para o ponto P 1 teremos z 1 = h :

ρ g h + 1 2 ρ v 1 2 = 1 2 ρ v 2 2

v 2 2 = v 1 2 + 2 g h

Por enquanto temos duas variáveis e só uma equação.

Passo 2

Podemos encontrar nossa segunda equação da seguinte forma:

A 1 v 1 = A 2 v 2

π R 2 v 1 = π r 2 v 2

v 1 = r 2 R 2 v 2

v 1 2 = r 4 R 4 v 2 2

Então temos um sistema:

v 1 2 = r 4 R 4 v 2 2 v 2 2 = v 1 2 + 2 g h

E a velocidade de descida do nível da água (que o enunciado pediu) é a velocidade de descida do ponto P 1 , então vamos resolver o sistema para encontrar v 1 :

v 1 2 = r 4 R 4 v 1 2 + 2 g h

v 1 2 1 - r 4 R 4 = 2 g h   r 4 R 4

v 1 = 2 g h   r 4 R 4   R 4 R 4 - r 4

v 1 = 2 g h     r 4 R 4 - r 4

E substituindo os valores numéricos:

v 1 = 2 9,81 0,10 0,1 4 10 4 - 0,1 4 = 1,4   .   10 - 4   m / s

v 1 = 0,14   m m / s

Passo 3

(b) A fórmula que nós acabamos de descobrir continua válida durante toda a descida. A única diferença é o raio R da parte superior.

E então:

v 1 = 2 g h     r 4 R ' 4 - r 4

E podemos calcular R ' usando semelhança de triângulos:

R ' 10 = 5 5 + 5

R ' = 5   c m

Então:

v 1 = 2 9,81 0,05 0,1 4 5 4 - 0,1 4 = 4,0   .   10 - 4   m / s

v 1 = 0,40     m m / s

Passo 4

(c) Vamos tentar determinar a forma da superfície lateral para que o nível de água abaixe uniformemente.

Vamos criar um sistema de coordenadas em que z é a altura a partir do centro da ampulheta e ρ é a distância de cada ponto da superfície até o eixo:

Dessa vez a equação da continuidade dá:

v 2 r 2 = v ρ 2

v 2 2 = ρ 4 r 4   v 2

E a equação de Bernoulli (conforme a segunda equação do nosso sistema lá de cima) fica:

v 2 2 = v 2 + 2 g z

ρ 4 r 4   v 2 = v 2 + 2 g z

z = v 2 2 g ρ 4 r 4 - 1

Como a fração dentro dos parênteses deve ser bem maior do que 1 , podemos aproximar por:

z ≈ v 2 2 g ρ r 4

Resposta

(a) A velocidade inicial de descida do nível da água deve ser de 0,14   m m / s .

(b) A velocidade de descida do nível depois de ter baixado 5   c m é 0,40   m m / s .

(c) z ≈ v 2 2 g ρ r 4 , onde z é a altura a partir do centro, v é a velocidade de descida do nível e ρ é a distância até o eixo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um sistema de irrigação de um campo de golfe descarrega a água de um cano horizontal à taxa de 7200 c m 3 / s . Em um ponto do cano em que o raio é 4,0cm, a pressão absoluta da água é 2,40 × 10 5 P a
Um tanque selado que contém água do mar até uma altura igual a 11,0m também contem ar acima da água a uma pressão manométrica igual a 3,0atm. A água escoa para fora através de um pequeno orifício na b
Você usa a broca para fazer um pequeno furo na lateral de um tanque cilíndrico vertical de água assentado sobre o solo com seu topo aberto para o ar. (a) Se o nível da água tiver uma altura H, em que
Um tanque cilíndrico vertical de área de seção reta A 1 está aberto para o ar em seu topo e contém água até a profundidade h o . Um empregado abre acidentalmente um furo de área A 2 no fundo do tanque
O furacão Emily, ocorrido em 1993, apresentava um raio de aproximadamente 350 km. A velocidade do vento ao redor do vcentro (o “olho”) do furacão, de raio 30 km, atingiu 200 km/h. À medida que o ar fo