Enunciado

Petróleo de densidade 0,85   g / c m 3 e viscosidade 1 poise é injetado, à pressão de 5   a t m , numa extremidade de um oleoduto de 20   c m de diâmetro e 50   k m de comprimento, emergindo na outra extremidade à pressão atmosférica. (a) Calcule a vazão em litros/dia; (b) Calcule a velocidade de escoamento ao longo do eixo do oleoduto.

Passo 1

(a) Vamos lembrar da fórmula para a vazão de um tubo cilíndrico de comprimento l :

V = π a 4 8 η p 1 - p 2 l

Onde p 1 - p 2 é a diferença de pressão entre as extremidades, a é o raio do tubo e η é a viscosidade.

η = 1   P = 1   g c m ∙ s

p 1 - p 2 = 5 - 1 = 4   a t m = 4 1,013.10 5   P a

l = 50   .   10 3   m

a = 20 2 = 10   c m

Passo 2

Temos que tomar muito cuidade com as unidades:

V = π 10   c m 4 8 1 g c m ∙ s 4 1,013.10 5   P a 50   .   10 3   m

Convertendo o comprimento para metros:

V = π 0,1 0 4 8 1 g c m ∙ s 4 1,013.10 5   P a 50   .   10 3   m

E a viscosidade para k g / ( m ∙ s ) :

1 g c m ∙ s = 1 10 - 3   k g 10 - 2   m ∙ 1 s = 0,1 k g m ∙ s

Então:

V = π 0,1 4 8 0,1 4 1,013.10 5 50   .   10 3

V = 3,18   .   10 - 3 m 3 s

Mas 10 - 3   m 3 = 1   L , então:

V = 3,18 L s

E agora é só multiplicar pelo número de segundos em um dia:

V = 3,18 L s × 24 h o r a s d i a × 60 m i n u t o s h o r a × 60   s m i n u t o

V = 3,18 L s × 24 h o r a s d i a × 60 m i n u t o s h o r a × 60   s m i n u t o

V = 2 , 75   .   10 5   L / d i a

Passo 3

(b) Agora queremos calcular a velocidade de escoamento ao longo do eixo do tubo.

Em um tubo viscoso, a velocidade do fluido é menor quando estamos próximos da parede. A fórmula para essa velocidade é:

v r = p 1 - p 2 4 l η a 2 - r 2

Onde r é a distância a partir do eixo. No nosso caso, r = 0 :

v = p 1 - p 2 4 l η a 2

v = 4 1,013.10 5 4 50.10 3 0,1 0,2 2 2

v = 0,203   m / s

Resposta

(a) V = 2,75 . 10 5   L / d i a .

(b) v = 0,203   m / s .

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