Enunciado

Um modelo aproximado da câmara de combustão de um foguete é um recipiente contendo gás que se mantém a uma pressão constante p , com um orifício pelo qual o gás escapa para o exterior, onde a pressão é p 0 < p . Tratando o gás como um fluido incompressível, demonstre que o empuxo resultante sobre o foguete é igual a 2 A p - p 0 , onde A é a área do orifício.

Passo 1

Pela segunda lei de Newton, nós sabemos que a soma das forças externas agindo sobre um sistema é:

F e x t = d d t p

Onde p é o momento linear. Nesse caso, não existem forças externas agindo, então:

d p d t = 0

d d t m v = 0

Usando a regra do produto:

m d v d t + v d m d t = 0

m a = - v d m d t

O empuxo é justamente a força associada à essa aceleração a , então:

E r = - v d m d t

E podemos escrever a massa como produto da densidade do gás e do volume no interior do tubo:

E r = - v d d t ρ V

Como a densidade é uma constante, ficamos apenas com:

E r = - v ρ d d t V = - v ρ V ˙

Passo 2

Agora vamos lembrar da fórmula para essa taxa de variação do volume (que é a vazão volumétrica):

V ˙ = Q = v A

Onde A é a área do orifício por onde o gás escapa e v é a sua velocidade:

E r = - ρ A v 2

Agora precisamos encontrar alguma expressão para substituir v .

Usando a equação de Bernoulli entre dois pontos (um no interior e um sobre o orifício).

A pressão no ponto interior é p , e a pressão no ponto sobre o orifício é a pressão atmosférica p 0 :

p + ρ g z + 1 2 ρ v i n t 2 = p 0 + ρ g z + 1 2 ρ v 2

Os dois pontos estão na mesma altura z , então:

p + 1 2 ρ v i n t 2 = p 0 + 1 2 ρ v 2

E a velocidade do gás no interior da câmara é nula:

p = p 0 + 1 2 ρ v 2

v 2 = 2 p - p 0 ρ

Passo 3

Vamos substituir isso na fórmula que encontramos para o empuxo:

E r = - ρ A v 2

E r = - ρ A   2 p - p 0 ρ

E r = - 2 A p - p 0

Que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar.

O sinal negativo só indica que o empuxo empurra o foguete na direção contrário à de ejeção do gás. Podemos ignorar isso sem problemas (é só trocar o referencial).

Resposta

Demonstração.

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