Enunciado

(a) Um anel fino e homogêneo, de massa M e raio R , está no plano x = 0 e centrado na origem. Esboce o gráfico do campo gravitacional g , versus x para todos os pontos no eixo x . (b) Em qual ponto, ou quais pontos, a magnitude de g é máxima?

Passo 1

a) Para esboçar o gráfico do campo em relação a x , a gente precisa da função g x . Vamos tentar encontra-la a partir dos dados do problema.

Primeiramente, vamos considerar um pedaço bem pequeno do anel com comprimento d l e massa d m . Olha essa ilustração aqui embaixo:

Queremos equacionar o campo d g → causado por d l no ponto marcado de laranja, que dista x da origem. A fórmula vai ser análoga a fórmulinha de um campo causado por uma massa

d g = G d m d 2

d é a distância entre o pedaço d l e o ponto sobre o eixo x . Para acharmos a distância entre nosso pedaço de anel e o eixo, podemos usar o teorema de Pitágoras. Isso porque R (que está contido no plano z y ) é perpendicular a x . Ficamos assim:

d 2 = R 2 + x 2

Nosso campo vai ficar assim:

d g = G d m R 2 + x 2

Agora vamos achar d m . A densidade linear do anel como todo pode ser encontrada pela divisão entre a massa total M do anel e a o comprimento do anel. Já que ele é circular, o comprimento é 2 π R , então a densidade fica

λ = M 2 π R

Assim, a gente consegue achar uma relação entre d l e d m :

λ = d m d L → d m = λ d L

Substitiundo no nosso campo

d g = G λ d L R 2 + x 2

Passo 2

Lembrando que queremos saber o campo resultante sobre os pontos do eixo x .

Repare que o campo resultante só vai ter componente x . Por que? Imagina que a gente tem dois pedaços d l . Um na parte mais alta do anel e outra na mais baixa:

As componentes verticais dos dois d g → vão se anular, ficando apenas a componente em x . Como a massa do anel está posicionada com uma simetria em relação a x , isso acontece em todas as direções, fazendo com que o campo resultante fique apenas na direção x .

Então vamos decompor nossa expressão de d g → em x :

Fica:

d g x = d g ⋅ cos ⁡ θ = G λ d L R 2 + x 2 cos ⁡ θ

Da figura, temos um triângulo retângulo dado por d l , o ponto laranja e a origem dos eixos. Assim o cateto oposto de θ é R , o adjacente é x , a hipotenusa (por pitagoras) é x 2 + R 2 . Logo:

cos ⁡ θ = x x 2 + R 2

Voltando na componente do campo

d g x = G λ d L R 2 + x 2 ⋅ x x 2 + R 2 = G λ x d L ( R 2 + x 2 ) 3 / 2

Passo 3

Como λ = M 2 π R :

d g x = G λ x d L R 2 + x 2 3 / 2 = G M x d L 2 π R R 2 + x 2 3 / 2

Agora vamos integrar para achar o campo resultante causado por todo o anel. Como a variável da nossa integral é L (o comprimento), vamos integrar de 0 até o comprimento total do anel 2 π R :

g x = ∫ 0 2 π R G M x 2 π R R 2 + x 2 3 / 2 d L

Tirando o que não depende de L da integral:

g x = G M x 2 π R R 2 + x 2 3 / 2 ⋅ ∫ 0 2 π R d L = G M x 2 π R R 2 + x 2 3 / 2 ⋅ 2 π R

Portanto,

g x = G M x R 2 + x 2 3 / 2

O gráfico vai ficar assim:

Podemos interpretar que essa distribuição é simétrica em relação a origem. Ou seja, em um ponto onde temos x negativo, o campo tem o mesmo módulo, mas sinal trocado (Sentido oposto).

Passo 4

(b) Para acharmos o ponto de máximo, vamos derivar a expressão do campo e igualar a zero.

g x = G M x R 2 + x 2 3 / 2

Derivando,

g x ' = G M R 2 + x 2 3 2 - x ⋅ 3 2 R 2 + x 2 1 2 ⋅ 2 x R 2 + x 2 3 = 0

Usamos a regra do quociente aqui em cima!

R 2 + x 2 3 2 - x ⋅ 3 2 R 2 + x 2 1 2 ⋅ 2 x = 0

Simplificando o fator R 2 + x 2 1 2 :

R 2 + x 2 - 3 x 2 = 0 → x 2 = R 2 2

Portanto,

x = ± R 2

Pelo gráfico do item (a), vemos que a curva possui concavidade para baixo. Assim, podemos concluir que esses são pontos de máximo.

Resposta

  1. g x = G M x R 2 + x 2 3 / 2
  2. O gráfico vai ficar assim:

  3. x = ± R 2
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