Enunciado

O ângulo subtendido pelo diâmetro da lua em um ponto na Terra é cerca de 0,524 ° (veja a figura). Use essa informação e o fato de que a lua está a cerca de 384   M m de distância para encontrar o diâmetro da Lua. Dica: o ângulo pode ser determinado a partir do diâmetro da lua e da distância até a lua.

Passo 1

Falaa! A gente quer o diâmetro da lua. Ele nos dá a distância entre a lua e um ponto da terra e também nos dá o ângulo subtendido pelo diâmetro da lua, que é esse ângulo mostrado na figura do enunciado.

Para começar, vamos lembrar de uma fórmula bastante importante da geometria plana. Se a gente tiver um setor circular caracterizado por um ângulo α , assim:

Podemos achar esse comprimento L , usando

L = α r

Sendo que r é o raio do círculo onde esse setor circular está contido. É importante saber que, quando o ângulo é muito pequeno, o arco se aproxima bastante de um segmento de reta, porque ele vai ser bem pequeno também.

Então essa situação do setor circular ficaria mais ou menos assim:

Como nessa questão estamos tratando de um ângulo de apenas α = 0,524 ° , um ângulo bem pequeno, nós podemos tratar o diâmetro da lua (que é um segmento de reta) como se fosse um pequeno arco.

Passo 2

Nesse caso, a distância até a lua cumpriria o papel do raio do círculo imaginário, e então o diâmetro da Lua seria dado pela seguinte fórmula:

D = α r

Aí vamos usar essa expressão para achar o nosso diâmetro. Só vamos ter cuidado com as unidades. A distância entre o ponto e a lua é

r = 384   M m

A distância foi dada em megametros ( M m ) , ou seja, 10 6   m . Então temos

r = 384 10 6 m

Já o ângulo precisa ser convertido para radianos. Para sair de graus e ir para radianos, precisamos multiplicar nosso ângulo por π / 180 ° :

α = 0,524 ° = 0,524 °   π 180 ° = 9,145 10 - 3   r a d

Agora a gente substitui esses valores na nossa fórmulinha para o diâmetro:

D = α r

D = 9,145 × 10 - 3 384 × 10 6

D = 3511680 ≈ 3,51 × 10 6   m

Resposta

O diâmetro da Lua é aproximadamente 3,51   × 10 6   m .

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