Enunciado

a)Pela expressão de E ( E ( r ) = λ r 2 π ϵ o R 2   p a r a   r ≤ R   e E ( r ) = λ 2 π ϵ o r   p a r a   r > R ), encontre a expressão do potencial elétrico V em função de r, para todos os pontos no interior e no exterior do cilindro. Seja V=0 na superfície do cilindro. Em cada caso, expresse os resultados em função da carga por unidade de comprimento λ da distribuição de cargas.

b)Faça um gráfico de V e E em função da distância e de r=0 até r=3R.

Passo 1

letra a)

Podemos achar a diferença de potencial através da expressão:

V a - V b = ∫ a b E _ ⋅ d l _

E a expressão do campo elétrico ele nos deu no enunciado.

Passo 2

Para pontos fora do cilindro temos   r > R . Então E ( r ) = λ 2 π ϵ o r

Escrevemos então:

V R - V r = ∫ R r λ 2 π ϵ o r   r ^ ⋅ d r _

Na superfície do cilindro o potencial é zero ( V R = 0 )

- V r = ∫ R r λ 2 π ϵ o r   r ^ ⋅ d r _ = ∫ R r λ 2 π ϵ o r   d r

- V r = λ 2 π ϵ o ∫ R r 1 r   d r

- V r = λ 2 π ϵ o l n r R

V r = - λ 2 π ϵ o l n r R

Passo 3

Para pontos dentro do cilindro temos r < R . Então E ( r ) = λ r 2 π ϵ o R 2

Logo:

V r - V R = ∫ r R λ r 2 π ϵ o R 2   r ^ ⋅ d r _

Como antes V R = 0   ( r = R )

V r = ∫ r R λ r 2 π ϵ o R 2 ⋅ d r = λ 2 π ϵ o R 2 ∫ r R r ⋅ d r

V r = λ 2 π ϵ o R 2 r 2 2 r R = λ 4 π ϵ o R 2 R 2 - r 2

V r = λ 2 π ϵ o 1 - r 2 R 2

Passo 4

letra b)

O potencial dentro do cilindro é positivo e decrescente. Quando chega na superfície ele é zero e fora do cilindro ele decresce e é negativo

Passo 5

Já o campo elétrico dentro do cilindro ele é crescente e positivo. E fora do cilindro ele cai na razão de 1/r.

Resposta

letra a) V r = λ 2 π ϵ o l n R r   r > R , V r = λ 2 π ϵ o 1 - r 2 R 2   r < R

letra b)

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