Enunciado

Uma argola circular com raio de 0,500 m é colocada sobre o chão plano. Uma partícula de 0,400 kg desliza ao redor da borda interna da argola. É dada uma velocidade inicial de 8,00 m/s para a partícula. Depois de uma volta, a velocidade da partícula cai para 6,00 m/s por causa do atrito com o chão. (a) Encontre a energia transformada de mecânica para interna no sistema partícula-argola-chão como resultado do atrito em uma volta. (b) Qual é o número total de voltas que a partícula faz antes de parar? Suponha que a força de atrito permaneça constante durante todo o movimento.

Passo 1

(a)Nesse caso, já que a argola está apoiada no chão, a partícula só vai ter energia cinética, já que tem velocidade.

Se não tivesse atrito, a partícula teria a mesma energia cinética sempre, mas se a velocidade decai, por causa do atrito, a energia cinética também decai.

Matematicamente, a gente tem essa situação:

K i n i c i a l - W a t = K ( f i n a l )

Ou seja, a energia cinética correspondente à velocidade final v f = 6,00   m / s vai equivaler à energia cinética inicial, correspondente à velocidade inicial v i = 8,00   m / s , menos a energia perdida devido ao atrito, W a t .

Aplicando as formulinhas, a gente tem:

m ∙ v i 2 2 - W a t = m ∙ v f 2 2

Como a gente quer saber W a t , a energia que deixou de ser energia mecânica pra partícula, isolamos e reescrevemos:

W a t = m ∙ v i 2 2 - m ∙ v f 2 2

Agora a gente aplica os dados que a gente tem e determina:

W a t = 0,400 ∙ 8,00 2 - 6,00 2 2

W a t = 0 , 2 00 ∙ 64,00 - 36,00

∴ W a t = 5,60   J

Passo 2

(b)Se 1 volta na circunferência tem um deslocamento de 2 π r metros (quando o raio é dado em metros), o número n de voltas dadas pela partícula vai medir um deslocamento D = n ∙ 2 π r metros, certo?

Bom, a gente pode começar determinando esse deslocamento pelo princípio da conservação da energia, da mesma forma que no último passo, só que agora a velocidade final vai valer v f = 0   m / s .

Além disso, a força de atrito é mantida constante a todo momento. Essa informação é importante pra gente! Vamos começar determinando o valor dessa força a partir do valor do trabalho de atrito do último Passo.

A gente tinha que:

W a t = F a t ∙ d = 5,60   J

Precisamos determinar F a t , mas quanto vale d ?

Então, d é exatamente o deslocamento da partícula em 1 volta na circunferência, como dito em (a), que vale 2 π r . Vamos calcular então:

W a t = F a t ∙ 2 π r = 5,60   J

F a t ∙ 2 ∙ 3,14 ∙ 0,500 = 5,60   J

F a t = 5,60 2 ∙ 3,14 ∙ 0,500 = 1,78   N

Passo 3

Beleza! Agora a gente aplica a mesma equação do Passo 1, considerando os dados novos. A gente vai ter:

K i n i c i a l - W a t = K ( f i n a l )

Aqui, o caso, a energia cinética final vai valer zero, já que a velocidade final é zero! Com isso, a gente fica simplesmente com a seguinte relação:

K i n i c i a l - W a t = 0

K i n i c i a l = W a t

Aplicando as formulinhas, ficamos com o seguinte:

m ∙ v i 2 2 = F a t ∙ D

Onde D , como a gente falou, é o deslocamento total da partícula até ela parar, e equivale a n ∙ 2 π r , sendo n o número de voltas, que é o que a gente quer! Com isso, a gente tem:

0,400 ∙ 8,00 2 2 = 1,78 ∙ n ∙ 2 ∙ 3,14 ∙ 0,500

0,2 00 ∙ 64,00 = 1,78 ∙ n ∙ 3,14

∴ n = 12,8 5,59 ≅ 2,3   v o l t a s

Resposta

(a) W a t = 5,60   J

(b) n = 2,3   v o l t a s

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