Enunciado

Um arqueólogo aventureiro passa de um rochedo para outro deslocando-se lentamente com as mãos por meio de uma corda esticada entre os rochedos. Ele para e fica em repouso no meio da corda (Figura 5.42 ). A corda se romperá se a tensão for maior do que 2,5 × 10 4   N e se a massa do nosso herói for de 90   k g .

θ = 10 ° , qual é a tensão na corda?

b) Qual deve ser o menor valor de θ para a corda não se romper?

Passo 1

Fala galera! Beleza?! Bora resolver essa questão!

Nós temos um arqueólogo aventureiro que tá pendurado numa corda, passando de um lado para o outro. A gente sabe que ele tem massa de 90   k g , que ele para e fica em equilíbrio no meio da corda e que a corda vai se romper se a tensão for maior que T = 2,5 × 10 4   N .

Vamos fazer um diagrama de forças para entender melhor a situação:

Nós queremos achar (a) a tensão na corda, quando o ângulo for θ = 10 ° e (b) o menor valor de θ pra essa corda não se romper. Pra isso, vamos usar segunda lei de Newton, na forma:

∑ F = m a

Assim, somaremos todas as forças presentes e encontraremos as variáveis pedidas. Vamos lá!

Passo 2

Observe que as forças tensoras da figura anterior estão representadas em laranja e formam um ângulo θ = 10 ° com o eixo x . Como o arqueólogo está parado, todo o sistema está em equilíbrio. E a força peso está representada em roxo.

Na horizontal temos apenas as componentes horizontais das tensões (em cada metade da corda):

Elas estão representadas em vermelho e podemos ver que possuem módulos iguais e direção opostas, sendo assim, elas se cancelam.

E as componentes verticais? Bom, saca só elas no diagrama:

Também as representamos em vermelho. Na direção vertical elas se somam! E são contrabalançadas com a força peso do arqueólogo!

Assim, a componente vertical da tensão é T y = T sen ⁡ θ , então pela segunda lei, temos:

T sen ⁡ θ + T sen ⁡ θ = P

2 T sen ⁡ θ = P

E isolando T na equação, obtemos:

T = P 2 sen ⁡ θ

O peso dele é P = m g = 90 ∙ 9,8 = 882 N e como θ = 10 ° podemos calcular a tensão na corda fazendo:

T = 882 2 ∙ sen ⁡ ( 10 ° )

T = 2539,61 N

Passo 3

Agora o problema quer o ângulo máximo para evitar a ruptura. A tensão m��xima na corda é de 2,5 × 10 4 N . Do passo anterior temos uma relação para a tensão e o seno do ângulo que é dada por:

T = P 2 sen ⁡ θ

Nesse caso T = 2,5 × 10 4 N e o peso do arqueólogo segue sendo P = 882   N . Então, é só substituir na equação:

25000 = 882 2 sen ⁡ θ

Isolando o seno do ângulo:

sen ⁡ θ = 882 25000 × 2 = 882 50000

sen ⁡ θ = 0,01764

Então, calculando o arco seno que satisfaz essa equação, temos:

θ = s e n - 1 0,01764

θ = 1,01 °

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   2539,61 N

b )   θ = 1,01 °

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