Enunciado

7 1 . Em um arranjo como o das Figs. 38 - 14 e 38 - 15 , os elétrons do feixe incidente têm uma energia E = 800   e V e o degrau de potencial tem uma altura U b = 600   e V . Qual é o número de onda dos elétrons ( a ) na região 1 e ( b ) na região 2 ? ( c ) Qual é o coeficiente de reflexão? ( d ) Se 5,00 × 10 5 elétrons incidirem no degrau de potencial, quantos, aproximadamente, serão refletidos?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

Para calcularmos o vetor de onda do elétron, já que o enunciado já nos deu a energia do elétron, podemos usar a seguinte equação:

k = 2 π h 2 m E T

Onde E T é a energia total do elétron na região que temos interesse, na região 1 vai ser a energia E do elétron, já na região dois como temos a energia potencial, a energia total vai ser dada por E T = E - U b .

Para encontrarmos o coeficiente de reflexão temos que avaliar as funções de onda do elétron nessas duas regiões, para a região 1 , temos:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

E para a região 2 , temos:

ψ 2 x = C e i k 2 x

Que são as equações ( 38 - 31 ) e ( 38 - 33 ) do livro.

Tendo isso vamos usar as condições de contorno ao nosso favor e assim calcular o coeficiente de reflexão que é dado pelo módulo quadrado da razão entre o coeficiente da onda refletida ( B ) sobre o da onda incidente ( A ) .

Depois que tivermos esse coeficiente de reflexão basta multiplicá-lo pelo número de elétrons incidentes que saberemos quantos elétrons refletiram.

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Na região 1 , temos que E T = E , assim:

k = 2 π h 2 m E

A massa m do elétron é dada por m = 9,11 × 10 - 31   k g , a constante de Planck h = 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s . A energia dele é 800   e V passando para Joules temos E = 1,28 × 10 - 16   J .

Substituindo os valores na equação temos:

k 1 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 1,28 × 10 - 1 6 )

= 9,48 × 10 33 2,33 × 10 - 46

Então temos que:

k 1 = 1,45 × 10 11   m - 1

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Na região 2 , temos que E T = E - U b = 800   e V - 600   e V = 200   e V , passando para Joules temos E T = 3,2 × 10 - 1 7   J .

Substituindo os valores na equação temos:

k 2 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 3,2 × 10 - 1 7 )

= 9,48 × 10 33 5,83 × 10 - 4 7

Então temos que:

k 2 = 7,24 × 10 1 0   m - 1

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Temos as seguintes funções de onda:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

ψ 2 x = C e i k 2 x

Temos que aplicar as condições de contorno para as funções de onda, essas condições são ψ 1 0 = ψ 2 ( 0 ) e ψ 1 ' 0 = ψ 2 ' ( 0 ) .

Aplicando a primeira, temos:

A + B = C

Aplicando a segunda, temos:

A k 1 - B k 1 = C k 2

Nós já conhecemos k 1 e k 2 e consequente temos que k 2 = k 1 / 2 , assim:

A k 1 - B k 1 = C k 1 2

⇒ A - B = C 2 ⇒ 2 A - 2 B = C

Substituindo essa equação na primeira que encontramos, temos:

A + B = 2 A - 2 B

⇒ A = 3 B

Achamos uma relação entre A e B , agora podemos calcular o coeficiente de reflexão R .

Passo 5

Temos o seguinte então:

R = B A 2

Usando o que encontramos, temos:

R = B 3 B 2 = 1 9

Passo 6

Agora vamos para o último item, letra ( d ) .

O número de elétrons incidente é 5 × 10 5 e como temos um coeficiente de reflexão de 1 / 9 , o número de elétrons refletidos vai ser dado por:

N R = R N i

= 1 9 ( 5 × 10 5 )

Assim temos que:

N R = 5,56 × 10 4

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

k 1 = 1,45 × 10 11   m - 1

( b )

k 2 = 7,24 × 10 10   m - 1

( c )

R = 1 9

( d )

N R = 5,56 × 10 4

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