Enunciado

3. || Um asteróide de 4,0 $ 1010 kg está indo diretamente de encontro

ao centro da Terra a constantes 20 km/s. A fim de salvar o planeta,

os astronautas impulsionam uma gigantesca rocha contra o asteróide

em uma direção perpendicular ao movimento do mesmo. O

foguete usado gera 5,0 $ 109 N de empuxo. O foguete é disparado

quando o asteróide se encontra a 4,0 $ 106 km da Terra. Despreze a

força gravitacional da Terra sobre o asteróide, assim como a rotação

do planeta em torno do Sol.

a. Se a missão falhar, quantas horas levará até que o asteróide atinja

a Terra?

b. O raio aproximado da Terra é de 6.400 km. Em que valor mínimo

de ângulo o asteróide deve ser desviado a fim de não atingir a

Terra?

c. O motor do foguete funciona ao máximo durante 300 s antes que

acabe o combustível. A Terra será salva?

Passo 1

Galera o mais importante nesse tipo de exercícios é entender o que esta acontecendo, sempre façam desenhos e tentem entender os movimentos, porque sem isso é muito fácil se confundir e as vezes calcular uma coisa nada a ver com o que esta sendo pedido.

Agora você pode estar pensando, “Como que eu vou desenhar isso?”, “Essa questão não faz sentido”, “De onde ta vindo essa gigantesca rocha?”.

E realmente esse exercício não faz sentido nenhum. Fui dar uma olhadinha no original e não é que tem um errinho não tradução. Tem um baita de um erro!

Olha só como deveria ser o enunciado:

3. || Um asteróide de 4,0 × 10 10   k g está indo diretamente de encontro ao centro da Terra a constantes 20 km/s. A fim de salvar o planeta, os astronautas prendem um gigantesco foguete no asteróide em uma direção perpendicular ao movimento do asteróide. O foguete usado gera 5,0 × 10 9   N de empuxo. O foguete é acionado quando o asteróide se encontra a 4,0 × 10 6   k m da Terra. Despreze a força gravitacional da Terra sobre o asteróide, assim como a rotação do planeta em torno do Sol.

a. Se a missão falhar, quantas horas levará até que o asteróide atinja a Terra?

b. O raio aproximado da Terra é de 6.400 km. Em que valor mínimo de ângulo o asteróide deve ser desviado a fim de não atingir a Terra?

c. O motor do foguete funciona ao máximo durante 300 s antes que acabe o combustível. A Terra será salva?

Agora tudo faz sentido, não é mesmo? O foguete não é pra explodir o asteroide, é pra empurra ele longe da Terra. Que confusão!

Bora fazer o exercício então.

Passo 2

a)

Aqui precisamos descobrir quanto tempo vai demorar para o asteroide atingir a Terra. E nós temos a velocidade dele e a ditância até a Terra, entãooo

v = x t

Isolando o tempo

t = x v

Como a velocidade esta em k m / s e a distância esta em k m não precisamos transformar os dois para metro, pois o quilometro vai cortar com o quilometro. Subistituindo:

t = 4,0 × 10 6   k m 20   k m / s

t = 2 × 10 5   s

Passo 3

b)

Vamos fazer o desenho pra entender melhor que que esta acontecendo:

Olha ai, temos um triângulo, para descobrir o ângulo é só calcular a tangente dele:

tg ⁡ α = 6400 4 × 10 6

tg ⁡ α = 1,6 × 10 - 3

α = arctg ⁡ 1,6 × 10 - 3

Calculando esse arcotangente:

α = 0,09167 °

Passo 4

c)

Vamos entender esse movimento.

O asteroide vai manter uma velocidade constante em direção a Terra (porque é pra desprezar a gravidade).

O asteroide vai acelerar na direção y durante 300 s. Após isso ele vai manter uma velocidade constante em y .

Beleza, vamos calcular o quanto o asteroide vai andar na direção de y enquanto ele acelera e depois vamos calcular o quanto ele anda na direção de y com a velocidade constante. Se essa soma for maior que o raio da Terra, o asteroide não ira colidir.

Primeira parte, com aceleração:

Precismos saber a aceleração do asteroide, pra isso vamos usar a Segunda Lei de Newton:

F = m a

5,0 × 10 9 = 4,0 × 10 10 ⋅ a

a = 0,125   m / s 2

Vamos calcular quanto ele andou:

s f = s o + v o ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Vamos considerar que o s o = 0 .

Como o asteroide estava indo bem retinho em direção a Terra ele não tem velocidade inicial em y . A equação fica:

s f = a ⋅ t 2 2

s f = 0,125 ⋅ 300 2 2

s f = 5625   m

Beleza, agora precisamos descobrir como estava a velocidade desse asteroide quando ele parou de acelerar:

v f = v o + a ⋅ t

v f = 0 + 0,125 ⋅ 300

v f = 37,5   m / s

Sabemos que vai demorar 2 × 10 5   s para o asteroide chegar a terra, vamos descobrir quanto o asteroide ainda vai se deslocar (Ele já gastou 300 segundos acelerando, temos que descontar isso):

v y = Δ y t

37,5 = Δ y 2 × 10 5 - 300

Δ y = 7,49 × 10 6   m

Ou seja, o asteroide vai passar bemm longe da Terra.

Resposta

a)

t = 2 × 10 5   s

b)

α = 0,09167 °

c)

Sim

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