Enunciado

54. A FIGURA PD7.54 mostra três massas

suspensas conectadas por barbantes

sem massa que passam por

duas polias de massas desprezíveis

e livres de atrito.

a. Determine o vínculo de aceleração

para este sistema. Trata-se

de uma única equação relacionando

a1y, a2y e a3y.

Sugestão: yA não é constante.

b. Obtenha uma expressão para a

tensão no barbante A.

Sugestão: você deve ser capaz de

escrever quatro equações a partir

da segunda lei. Estas, mais o vínculo

de aceleração, constituem um sistema de cinco equações em

cinco incógnitas.

c. Suponha que: m1 " 2,5 kg, m2 " 1,5 kg e m3 " 4,0 kg. Determine

a aceleração de cada uma dessas massas.

d. A massa de 4,0 kg aparentemente estaria em equilíbrio. Explique por que ela acelera.

Passo 1

a)

Vamos analisar essas polias com calma.

A polia A , que ta conectada no bloco m 3 , tem a mesma aceleração que o bloco, só com sinal trocado, pois eles estão conectados pelo mesmo barbante:

a 3 = - a p o l i a

Se a polia A não estivesse descendo, os blocos m 1 e m 2 teriam a mesma aceleração com o sinal trocado, vamos chamar essa aceleração de b :

a 1 = b

e

a 2 = - b

Mas a polia ta descendo, então precisamos somar a aceleração da polia aos dois blocos:

a 1 = b + a p o l i a

e

a 2 = - b + a p o l i a

Vamos substituir pela aceleração do bloco m 3 :

a 1 = b - a 3

e

a 2 = - b - a 3

Precisamos de uma equação só com a 1 , a 2 e a 3 . Só precisamos isolar o b e igualar as duas equações:

b = a 1 + a 3

e

b = - a 2 - a 3

Igualando

a 1 + a 3 = - a 2 - a 3

A nossa expressão fica:

a 1 + a 2 + 2 a 3 = 0

Passo 2

b)

Vamos fazer o que a sugestão ta falando. Quando o exercício pede esse tipo de expressão, a gente precisa achar uma que esteja só em função das massas e da gravidade.

Para o bloco m 3

∑ F y = m 3 ⋅ a 3

T B - P 3 = m 3 ⋅ a 3

T B - m 3 ⋅ g = m 3 ⋅ a 3

Para a polia A

∑ F y = m p o l i a ⋅ a p o l i a

Aqui a gente pode falar que a massa é zero, pois o exercícios nos fala que a massa é desprezível, ou seja, igual a zero:

∑ F y = 0

T B - 2 T A = 0

T B = 2 T A

Para o bloco m 2

∑ F y = m 2 ⋅ a 2

T A - P 2 = m 2 ⋅ a 2

T A - m 2 ⋅ g = m 2 ⋅ a 2

Para o bloco m 1

∑ F y = m 1 ⋅ a 1

T A - P 1 = m 1 ⋅ a 1

T A - m 1 ⋅ g = m 1 ⋅ a 1

A gente já tem uma relação entre as acelerações, então vamos isolar elas para substituir na relação, dessa forma todas as acelerações vão sumir.

T B - m 3 ⋅ g = m 3 ⋅ a 3

a 3 = T B m 3 - g

T A - m 2 ⋅ g = m 2 ⋅ a 2

a 2 = T A m 2 - g

T A - m 1 ⋅ g = m 1 ⋅ a 1

a 1 = T A m 1 - g

Prontinho, vamos substituir na relação das acelerações:

a 1 + a 2 + 2 a 3 = 0

T A m 1 - g + T A m 2 - g + 2 T B m 3 - g = 0

Só temos essa tensão de B que não queríamos que aparecesse, mas a gente já sabe a relação dela com a tensão de A, então vamos substituir também;

T A m 1 - g + T A m 2 - g + 2 2 T A m 3 - g = 0

Show, agora é só isolar a tensão A

T A m 1 - g + T A m 2 - g + 4 T A m 3 - 2 g = 0

T A 1 m 1 + 1 m 2 + 4 m 3 - 4 g = 0

T A 1 m 1 + 1 m 2 + 4 m 3 = 4 g

T A = 4 g 1 m 1 + 1 m 2 + 4 m 3 - 1

Prontinho, ta ai uma expressão da tensão no barbante A.

Passo 3

c)

Nós já tínhamos isolado as acelerações no Passo anterior, só precisamos calcular a tensão primeiro para conseguir o valor das acelereções.

T A = 4 9,81 1 2,5 + 1 1,5 + 4 4 - 1

T A = 18,99   N

Vamos calcular asacelerações:

a 1 = T A m 1 - g

a 1 = 18,99 2,5 - 9,81

a 1 = - 2,21   m / s 2

a 2 = T A m 2 - g

a 2 = 18,99 1,5 - 9,81

a 2 = 2,85   m / s 2

a 3 = T B m 3 - g

Usando a relação entre as duas tensões:

a 3 = 2 T A m 3 - g

a 3 = 2 18,99 4 - 9,81

a 3 = - 0,315   m / s 2

As acelerações negativas significam que o objeto está aeclerando para baixo.

Passo 4

d)

A massa de 4,0   K g aparentemente estaria em equilíbrio, pois se somarmos as outras duas massas: 2,5 + 1,5 = 4,0 . Ou seja como tem duas massas iguais dois dois lado so sistema estaria em equilíbrio.

Mas isso não ocorre, pois as massa m 1 e m 2 estão acelerando.

Se elas aceleram as tensões de A não são iguais ao seus pesos.

A tensão de B é igual a soma das tensões de A.

E como as tensões de A não são iguais a soma dos pesos das massas m 1 e m 2 , a tensão de B não vai ser igual ao peso da massa m 3 .

E a tensão de B não sendo igual ao peso de m 3 faz com que apareça uma força resultante que acelera essa massa.

Resposta

a)

a 1 + a 2 + 2 a 3 = 0

b)

T A = 4 g 1 m 1 + 1 m 2 + 4 m 3 - 1

c)

a 1 = - 2,21   m / s 2

a 2 = 2,85   m / s 2

a 3 = - 0,315   m / s 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15 . | Os bondes de S. Francisco, EUA, são puxados ao longo dos trilhos por cabos de aço subterrâneos que se movem a 15k m / h . O cabo é puxado, por sua vez, por grandes motoresem uma central de ener
14. Os blocos A e B da FIGURA Q7.14 estão ligados por uma corda sem massa através de uma polia livre de atrito. Os blocos acabam de ser liberados a partir do repouso. A polia gira em sentido horário o
Um corpo de massa m 1 está pendurado por uma corda que passa sobre uma polia fixa muito leve P 1 como mostrado na Figura P4.40. A corda conecta-se a uma segunda polia muito leve P 2 . Uma segunda cord
Um corpo de massa M é mantido no lugar por uma força aplicada F → em um sistema de polia, como mostrado na Figura P4.43. As polias têm massas e atritos desprezíveis. Desenhe diagramas mostrando as for