Enunciado

Uma astronauta no interior de uma espaçonave, que a protege das radiações perigosas, descreve uma órbita em torno de um buraco negro a uma distancia de 130 km do seu centro. O buraco negro possui massa igual a 5,0 vezes a massa do Sol e um raio de Schwarzschild igual a 15,0 km. A astronauta está posicionada no interior da espaçonave de tal modo que uma de suas orelhas de o,030 kg está 6,0 cm mais afastada do centro do buraco negro do que o centro de massa da espaçonave e a outra orelha está 6,0 cm mais próxima. a) Qual é a tensão entre suas orelhas? A astronauta poderia suportar essa força ou seria rasgada por ela? (Uma vez que o corpo inteiro da astronauta descreve a órbita com a mesma velocidade angular, por causa da diferença entre os raios, uma das orelhas se move com velocidade maior do que a outra orelha. Portanto, sua cabeça deverá exercer forças sobre as orelhas para mantê-las na órbita.) b) O centro de massa da sua cabeça está situado no mesmo ponto do seu centro de gravidade? Explique.

Passo 1

Ei pessoal.

Vamos aplicar ∑ F → = m a →   para cada orelha.

Denote o raio da órbita como ree distância desse raio até a orelha como δ . Cada orelha, de massa m , pode ser modelado como sujeito a duas forças, a força gravitacional do buraco negro e a força de tensão (na verdade a força dos tecidos do corpo), denotada por F .

Passo 2

  1. A equação da força para cada orelha é

G M m r + δ 2 - F = m ω 2 r + δ ,

onde δ pode ser de qualquer um dos sinais.

Bom, substitua o produto m ω 2 pelo valor de δ   =   0 , m ω 2 = G M m / r 3 e resolva para F :

F = G M m r + δ r 3 - 1 r + δ 2 = G M m r 3 r + δ - r 1 + δ r - 2 .

Usando o teorema do binômio para expandir o termo entre colchetes em potências de δ / r ,

F ≈ G M m r 3 r + δ - r 1 - 2 δ r = G M m r 3 3 δ = 2,1   k N .

Essa tensão é muito maior do que aquela que poderia ser sustentada pelo tecido humano, e o astronauta está com problemas.

Passo 3

b) O centro de gravidade não é o centro de massa. A força da gravidade nas duas orelhas não é a mesma.

A tensão entre seus ouvidos é proporcional à separação deles.

Resposta

  1. F ≈ 2,1   k N
  2. Não.
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