Enunciado

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Ato de equilibrar. Uma pequena esfera de massa M está ligada à extremidade de uma barra longa, fina e uniforme de comprimento L e massa M.

a) Localize a posição do centro de massa do sistema barra-esfera. Anote essa posição em um desenho da barra.

b) Você equilibra cuidadosamente a barra no topo de uma mesa sem atrito, de modo que a extremidade sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa. A seguir a barra é inclinada de um pequeno ângulo θ ; calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade sem a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. (Sugestão: Consulte a Tabela 9.2.)

c) Você novamente equilibra a barra no topo da mesa, porém agora com a extremidade contendo a esfera tocando a mesa. A seguir a barra é novamente inclinada de um pequeno ângulo   θ ; determine sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade com a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Como esse resultado se compara com o obtido no item (b)?

d) Um taco de bilhar é uma barra de madeira cônica grossa em uma extremidade e fina na outra. Você pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um dedo, quando a extremidade fina fica em contato com esse dedo; esse equilíbrio é muito mais difícil quando a extremidade grossa fica em contato com seu dedo. Explique por quê.

Letra a)

Passo 1

Para a localização do centro de massa, vamos ter

I s i s = I e s f e r a + I b a r r a

Sendo I e s f e r a = 1 3 M L 2 , como mostra a imagem a seguir:

Passo 2

O comprimento é dado por L, como a esfera é localizada no extremo da barra, consequentemente, o seu centro de massa se localiza na outra extremidade. Imaginemos que o sistema está em equilíbrio desta forma, se colocássemos a esfera no meio, haveria um desequilíbrio, certo? Portanto, o centro de massa é localizado a uma distancia L 2 + L 2 que resulta em L 4 .

Resposta

Resposta: L 4 , localizado na outra extremidade da barra.

Letra b)

Passo 1

Vamos definir o momento de inércia da barra

I b a r r a = M L 2

Imaginemos que a barra sem a extremidade que possui a esfera esteja em cima de uma mesa, verticalmente posicionada. (É só virarmos a figura hihi)

Agora, ela possui uma pequena inclinação, temos que calcular sua aceleração angular nesse instante.

Passo 2

O momento de inércia total, nesse caso, seria

I s i s = 1 3 M L 2 + M L 2

I s i s = 4 3 M L 2

Notamos que há uma força peso atuando no problema, portanto, temos um torque gravitacional de

τ   =   r F sin ⁡ θ

τ   = ( L 4 ) ( 2 m g ) sin ⁡ θ

τ   = 3 m g L 2 sin ⁡ θ

Igualando...

( 3 L 4 ) ( 2 m g ) sin ⁡ θ = 3 m g L 2 sin ⁡ θ

α = ( 9 g 8 L ) s i n θ

Resposta

Resposta: α = ( 9 g 8 L ) s i n θ .

Letra c)

Passo 1

Faremos a mesma análise só que agora com a extremidade contendo a esfera tocando a mesa. Nesse caso, temos

I = 1 3 M L 2

Assim,

( L 4 ) ( 2 m g ) sin ⁡ θ = m g L 2 sin ⁡ θ

Então,

α = ( 3 g 2 L ) s i n θ

Podemos perceber que esse resultado é maior do que o da letra b.

Resposta

Resposta: α =   ( 3 g 2 L ) s i n θ .

Letra d)

Passo 1

Quando a extremidade fina fica em contato com o dedo, ela possui menor contato com a superfície a que se coloca. Portanto, a aceleração angular é maior, ocasionando uma maior movimentação para superar os desvios e tentar equilibra-lá.

Resposta

Resposta: Quanto maior a aceleração angular da extremidade superior da sugestão, mais rápido você teria que reagir para superar desvios da vertical.

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