Enunciado

Quais, dentre ad funções do Problema 8.15, são (a) também autofunções do operador ( d 2 / d x 2 ) e (b) exclusivamente autofunções de ( d 2 / d x 2 ) ? Dê os autovalores quando for apropriado.

Passo 1

Aoooo clóóóviiss... Chega mais e let’s bora cair maando nessa questão aqui!!

Aqui não temos muito segredos... tudo o que queremos saber é se cada uma dessas funções pode ser uma autofunção do operador diferencial de segunda ordem..

“Ah beleza então... ...”

Eu sei... calma hahahaha

Bom, basicamente teremos que aplicar o operador (ou seja, derivar a função duas vezes), e verificar se a função obtida é um múltiplo da função original.... em outras palavras:

f f ' ' = C

A função f será uma autofunção do operador, e o múltiplo C será o autovalor desse mesmo operador.

Ta tudo meio no mundo das ideias.. vamos ver se para a primeira função fica menos bagunçado!

Passo 2

Lá na questão 8.15 tínhamos, para a letra (a) f = e i k x :

Bom, vamos aplicar o operador:

f ' ' = d 2 e i k x d x 2 = i k 2 e i k x

Repare então, que:

f ' ' = i k 2   f

Portanto, a função e i k x é uma autofunção do operador; e o autovalor é i k 2 . Topzera!

Próximo!!

(b) f = cos ⁡ k x :

Borá lá:

f ' ' = d 2 cos ⁡ k x d x 2 = - k 2 cos ⁡ ( k x )

Ou sejaaa... Sim, novamente f será uma autofunção do operador, e dessa vez o autovalor vale - k 2 .

Passo 3

Ok... tamo quase lá!

(c) f = k :

Aqui.... naturalmente né?! A derivada disso será ZERO.... e como Zero é uma constante:

f ' ' = 0 = 0 k

Teremos sim uma autofunção e um autovalor igual a ZERO.

Sim... o universitário moderno não tem um dia de paz.... mas ok!

Agora para um (d) f = k x :

Integrando, teremos:

f ' ' = d 2 k x d x 2 = 0 = 0 k x = 0 f

Portanto, assim como na alternatica anterior... o Zero é uma constante e serve como autovalor... e portanto a função é uma autofunção do operador.

Fiinalmenteee!

(e) f = e - a x 2 :

Derivando esse rolê:

f ' ' = d 2 e - a x 2 d x 2

Lembrando que:

f ' = d e - a x 2 d x = - 2 a x   e - a x 2

Derivando isso pela regra do produto:

f ' ' = - 2 a x - 2 a x   e - a x 2 + e - a x 2 - 2 a

Ajeitando essa criatura:

f ' ' = e - a x 2 4 a 2 x 2 - 2 a

Ou seja,

f ' ' = 4 a 2 x 2 - 2 a f

O que significa que:

f ' ' f ≠ C t e

Portanto... não temos uma autofunção e consequentemente, nada de autovalores por aqui!

Show de bola! Acabou!

Agora, o exercício quer que façamos uma comparação.... quais dessas funções são autofunções de ambos os operadores ( d 2 / d x 2 e d / d x ), desse exercício e do exercício 8.15..

Lá no cujo dito probleminha... obtivemos o seguinte:

  1. É autofunção; a u t o v a l o r = i k ;
  2. Não é autofunção;
  3. É autofunção; a u t o v a l o r = 0 ;
  4. Não é autofunção;
  5. Não é autofunção;

Enquanto aqui, tivemos:

  1. É autofunção; a u t o v a l o r = i k 2 ;
  2. É autofunção; a u t o v a l o r = - k 2 ;
  3. É autofunção; A u t o v a l o r = 0 ;
  4. É autofunção; a u t o v a l o r = 0 ;
  5. Não é autofunção;

O que significa que, as funções:

f = e i k x         e       f = k

São autofunções de ambos os operadores.

Em quanto que as funções:

f = cos ⁡ k x ,   f = k x

São autofunções somente do operador ( d 2 / d x 2 ) .

Show de bola!! Chega então né?! UFaaa!! Hahaha

Esse parecia eterno.... mas é isso!!

Até a próxima!!

Resposta

Portanto, as funções:

f = e i k x         e       f = k

São autofunções de ambos os operadores.

Em quanto que as funções:

f = cos ⁡ k x ,   f = k x

São autofunções somente do operador ( d 2 / d x 2 ) .

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