Enunciado

Na ausência da resistência do ar, um projétil que aterrisse na mesma elevação de onde foi lançado atinge o alcance máximo quando o ângulo de lançamento é de 45 ° . Suponha que um projétil de massa m seja lançado com velocidade de módulo v 0 contra um vento horizontal que exerce uma força retardadora F → v e n t o = - F v e n t o i ^ .

a. Obtenha uma expressão para o ângulo de alcance máximo.

b. Em que percentagem é reduzido o alcance máximo de uma bola de 0,50   k g se F v e n t o = 0,60   N ?

Passo 1

Letra a)

Fala galera, tudo bem? Na direção y temos apenas a gravidade, então a equação de movimento para um projétil é:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Sabemos que a componente vertical da velocidade é v 0 s e n θ , partindo do chão onde y 0 = 0 e chegando novamente ao chão (queremos o alcance, então queremos saber a distância horizontal que o projétil percorreu) então temos que y = 0 também. Daí a equação de movimento fica:

0 = 0 + v 0 s e n θ - g t 2 2

t = 2 v 0 s e n θ g

Na direção horizontal temos a força do vento, então da segunda lei temos que a aceleração na horizontal é a x = - F / m . Como temos aceleração na direção horizontal, a equação de movimento para o x vai ser a do mruv também.

Obs.: qualquer dúvida sobre essas equações, não deixa de consultar esse tópico no nosso site, viu!

Da equação de movimento temos:

x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2

O alcance atingido será A = x - x 0 , a componente horizontal da velocidade é v 0 x = v 0 c o s θ e a aceleração é no sentido oposto ao movimento e vale – F / m , então o alcance é:

A = v 0 c o s θ t - F 2 m t 2

Mas o tempo de voo t é o mesmo nas duas direções, então vou substituir a expressão para t que encontramos do movimento vertical aqui:

A = v 0 c o s θ 2 v 0 s e n θ g - F 2 m 2 v 0 s e n θ g 2

A = 2 v 0 2 g c o s θ s e n θ - 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

Tranquilo?

Agora que vamos calcular o que o problema pede. Ele pede o alcance máximo, certo? Então precisamos derivar essa expressão e igualar à zero:

d A d θ = 2 v 0 2 g cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ - 2 v 0 2 F m g 2 2 s e n θ c o s θ = 0

Então ficamos com:

2 v 0 2 g cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = 2 v 0 2 F m g 2 2 s e n θ c o s θ

Mas usando as identidades trigonométricas:

cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = c o s 2 θ

2 s e n θ c o s θ = s e n 2 θ

Ficamos com:

2 v 0 2 g c o s 2 θ = 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

E fazendo s e n 2 θ / c o s 2 θ temos t g 2 θ :

2 v 0 2 g = 2 v 0 2 F m g 2   t g 2 θ

t g 2 θ = m g F

Sendo assim, o máximo alcance é quando:

θ = 1 2 t g - 1 m g F

Passo 2

Letra b)

Sem a resistência do ar, temos que o alcance máximo é dado pela seguinte expressão:

A ' = 2 v 0 2 s e n 45 ° c o s 45 ° g = v 0 2 g

Para os valores dados de força e massa, o ângulo θ é:

θ = 1 2 t g - 1 m g F

θ = 1 2 t g - 1 0,5 ( 9,8 ) 0,6 = 41,51 °

E o alcance A já calculado no passo anterior é:

A = 2 v 0 2 g c o s θ s e n θ - 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

Agora vou substituir o ângulo θ = 41,51 ° e v 0 2 / g por A '

A = 2 A ' c o s 41,51 ° s e n 41,51 ° - 2.0,6 0,5.9,8 A ' s e n 2 41,51 °

A = A ' 0,9926 - 0,1076 = 0,885 A '

Agora o percentual de perda é:

A ' - A A ' = A ' - 0,885 A ' A ' = 1 - 0,885 = 0,115 × 100 %

A ' - A A ' = 11,5 %

Passo 3

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) θ = 1 2 t g - 1 m g F

b ) 11,5 %

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é o módulo da aceleração centrípeta de um objeto no equador da Terra devido a rotação da Terra?Qual deveria ser o período de rotação da Terra para que um objeto no equador tivesse uma aceleração
Uma pedra de massa 0,80 kg está presa à extremidade de um fio de 0,90 m de comprimento. O fio se romperá quando a tensão superar 600 N. (Isso se denomina tensão de ruptura do fio.) A pedra é arremessa
Uma roda gira com velocidade angular constante de 6,00 rad/s. a ) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0,500 m do eixo , usando a relação a r a d = ω ² r ² . b ) Ache a velocidade tangencial do p
a)Prove que, quando um objeto parte do repouso gira em tomo de um eixo fixo com aceleração angular constante a aceleração radial de um ponto do objeto é diretamenteproporcional ao seu deslocamento ang
Um CD armazena música em uma configuração codificada constituída por pequenas reentrâncias com profundidade de 10m. Essas reentrâncias são agrupadas ao longo de uma trilha em forma de espiral orientad