Enunciado

Uma bala de massa m é disparada verticalmente de baixo, contra uma fina chapa horizontal de compensado, de massa M , que está inicialmente em repouso, apoiada sobre uma fina folha de papel. A bala atravessa o compensado, que se eleva até uma altura H acima da folha de papel antes de cair. A bala continua subindo até uma altura h acima do papel. (a) Expresse, em termos de h e de H , as velocidades para cima da bala e do compensado, imediatamente após a bala ter atravessado o compensado. (b) Qual é a rapidez inicial da bala? (c) Qual é a energia mecânica do sistema antes e após a colisão inelástica? (d) Quanta energia mecânica é dissipada durante a colisão?

Passo 1

a) Oi, querido! Tudo bem?

Vamos olhar para a bala primeiro. Logo após atravessar o compensado, a bala tem uma velocidade v b . E depois ela sobe livremente até atingir uma velocidade máxima h , em relação ao ponto em que ela estava ao atravessar o compensado.

Aí ele quer v b . Percebe que ele dá uma altura máxima em um ponto e quer a velocidade em outro ponto, onde h = 0 . Isso é uma dica para gente usar a conservação de energia!

Temos

E i = E f

U i + K i = U f + K f

A energia inicial vai ser só cinética porque h = 0 → U i = 0 de acordo com nosso referencial. E a energia final vai ser só potencial gravitacional porque na altura máxima a velocidade é nula, e assim também a energia cinética ( K f = 0 ).

K i = U f

Substituindo a expressão de cada uma dessas energias:

m v b 2 2 = m g h

Isolando quem a gente quer:

v b = 2 g h

Passo 2

Para o compensado, temos uma situação bem similar. Ele dá a altura máxima dele H , e quer a velocidade dele logo após ser atravessado pela bala.

Vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior e usar a conservação de energia:

U i + K i = U f + K f

A energia inicial vai ser só cinética porque H = 0 → U i = 0 de acordo com nosso referencial. E a energia final vai ser só potencial gravitacional porque na altura máxima a velocidade é nula, e assim também a energia cinética ( K f = 0 ).

K i = U f

Substituindo a expressão de cada uma dessas energias e isolando quem a gente quer:

M v c 2 2 = M g H

v c = 2 g H

Passo 3

b) Cara, a gente tem a velocidade da bala depois da colisão e quer saber a velocidade dela antes da colisão v 0 . O que a gente vai usar? Cara, pensou em colisão, pensa em conservação da quantidade do movimento:

P i = P f

Inicialmente, só a bala está em momento, então a quantidade de movimento é dada somente pela bala, e vale

P i = m v 0

Já logo depois da colisão, os dois objetos se movem, então a quantidade de movimento é a soma das quantidades de cada um:

P f = m v b + M v c

Onde v b e v c são as velocidades que a gente achou no item anterior. E m é a massa da bala e M a massa do compensado. Substituindo tudo na conservação:

P i = P f

m v 0 = m v b + M v c

Dividindo tudo por m :

v 0 = v b + M m v c

Substituindo as expressões de v b e v c que a gente tem:

v 0 = 2 g h + M m 2 g H

Passo 4

c) Cara, ele quer saber a energia mecânica antes e depois da colisão. Como é imediatamente antes da colisão e logo depois da colisão, podemos considerar que não há diferença de altura entre esses dois momentos. Então vamos desprezar a energia potencial gravitacional.

Assim, inicialmente, a energia era apenas a energia cinética da bala, porque ela era a única em movimento:

E i = K i = m v 0 2 2  

Substituindo a expressão da velocidade:

E i = K i = m 2 g h + M m 2 g H 2 2  

Colocando 2 g em evidência:

E i = K i = m g h + M m H 2

Passo 5

Depois da colisão, vamos ter energia cinética da bala e do compensado. Então a gente soma essas duas bonitas:

E f = K f = K c + K b

E f = K f = M v c 2 2 + m v b 2 2

Substituindo as expressões de cada uma das velocidades:

E f = K f = M 2 g H 2 2 + m 2 g h 2 2

E f = K f = M 2 g H 2 + m 2 g h 2

Colocando g em evidência:

E f = K f = M H + m h g

Passo 6

d) Cara, a energia dissipada é a variação de energia mecânica que o sistema sofreu ao comparar o antes e depois da colisão.

Então o que a gente precisa fazer é calcular essa variação a partir das energias que a gente achou a partir do item anterior:

E d i s = E f - E i

E d i s = K f - K i

Substituindo as expressões que a gente achou:

E d i s = M H + m h g - m g h + M m H 2

Resposta

a) v b = 2 g h

v c = 2 g H

b) v 0 = 2 g h + M m 2 g H

c) K i = m g h + M m H 2

E f = K f = M H + m h g

d) E d i s = M H + m h g - m g h + M m H 2

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