Enunciado

Use o teorema dos eixos paralelos e o resultado do problema 41 para encontrar o momento de inércia do sistema de quatro partículas da figura 9-45 em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e que é paralelo ao eixo z . Confira seu resultado fazendo o cálculo diretamente.

Passo 1

Olá, querido! Tudo bem?

Ele fala para usar o resultado do exercício anterior para achar o momento de inércia desse sistema de partículas da figura em relação a um eixo que passa pelo centro de massa desse sistema e é paralelo a z . Então é uma boa a gente dar uma olhada nos dados do exercício 41.

A gente tinha lá esse sistema de partículas, onde m 1 = m 3 = 3   k g e m 2 = m 4 = 4   k g .

E o nosso resultado do exercício 41 (o nosso resultado para esse exercício está diferente do gabarito do livro, tá? Mas a gente está certinho) diz que o momento de inércia do sistema em relação ao eixo z é

I z = 56   k g ⋅ m 2  

E ele pede para usar o teorema dos eixo paralelos para achar I C M a partir desses valores. E o que esse teorema diz? Pelo teorema dos eixos paralelos,

I = I c m + M h 2

Onde I c m é o momento de inércia de um sistema com relação a um eixo que atravessa seu centro de massa, M é a massa do sistema e h a distância entre os eixos.

Vamos usar essas informações para achar o I c m desse sistema aí. Bora!

Passo 2

Então, percebe que I do teorema é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo CM. No nosso caso, esse eixo pode ser o z .   Então fazemos I = I z . Aí o teorema fica

I z = I c m + M h 2

Isolando quem a gente quer achar

I c m = I z - M h 2

Sabemos que I z = 56   k g ⋅ m 2 :

I c m = 56 - M h 2

Então para achar I c m a gente precisa desse termo M h 2 .

Passo 3

M é a massa do sistema, então vamos somar todas as massas das partículas para achar ele:

M = m 1 + m 2 + m 3 + m 4

M = 3 + 3 + 4 + 4

M = 14   k g

E quem é h ? Ele é a distância entre o eixo z e o CM. Mas onde está o centro de massa desse sistema?

Vamos olhar nosso sistema, lembrando que m 1 = m 3 = 3   k g e m 2 = m 4 = 4   k g . Daí você pode perceber que temos dois eixos de simetria na distribuição das massas dessas partículas:

E aí, quando a gente tem dois eixos de simetria, o centro de massa está na interseção desses dois caras. Logo nosso CM é essa bolinha verde.

Então, a distância h entre o CM e o eixo z (que está na interseção entre x   e y ), vai ser a metade da diagonal do quadrado de lado 2   m . Para achar a diagonal de uma quadrado, a gente multiplica o lado por 2 . Então a diagonal vale 2 2 e temos que:

h = d i a g o n a l 2 = 2 2 2 = 2   m

Passo 4

Daí é substituir os valores que a gente achou no teorema

I c m = 56 - M h 2

I = 56 - 14 × 2 2

I c m = 28   k g ⋅ m 2

Passo 5

Agora vamos confirmar esse resultado calculando o momento de inércia desse sistema diretamente. A gente vai calcular o momento de inércia de cada massa em relação ao eixo que passa pelo CM e somar.

O momento de inércia de uma partícula é

I p a r t í c u l a = m r 2

Sendo que m é a massa de uma partícula e r é a distância dela ao CM. Percebe que todas as nossas partículas distam 2   m do CM, que é a metade da diagonal do quadrado. Então vamos ter

r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = 2

Aí calculando o momento de inércia de cada partícula e somando, vamos ter:

I c m = ∑ m i r i 2

I c m = 3 × 2 2 + 4 × 2 2 + 3 × 2 2 + 4 × 2 2

I c m = 28   k g ⋅ m 2

Percebe que deu igualzinho ao nosso valor achado pelo teorema dos eixos paralelos 😊

Resposta

I c m = 28   k g ⋅ m 2

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