Enunciado

Um balão de hélio é usado para elevar uma carga de 110 N. O peso do envelope do balão é de 50,0 N e o volume do hélio quando o balão está totalmente inflado é 32,0   m 3 . A temperatura do ar é 0°C e a pressão atmosférica é 1,00 atm. O balão é inflado com uma quantidade suficiente de gás hélio e a força ascendente líquida no balão em sua carga é 30.0 N. Negligencie qualquer efeito devido às mudanças de temperatura a altitude muda. a) Quantas mols de gás hélio estão contidas no balão? (b) Em que altitude o balão estará totalmente inflado? (c) O balão já atinge a altitude em qual é totalmente inflado? (d) Se a resposta da Parte (c) for "Sim", qual é a altitude máxima atingida pelo balão?

Passo 1

Primeiro vamos anotar os dados que a questão nos oferece, para facilitar a visualização do problema:

w c a r g a = 110   N

w e n v e l o p e = 50,0   N

V = 32,0   m 3

T = 0 ° C = 273   K

P = 1,00   a t m

F l i q = 30,0   N

Passo 2

O item a) pede a quantidade de mols de gás hélio que está contida no balão. Para isso, precisamos saber quais as forças que estão atuando no balão, e relacionar a lei do gás ideal nela.

Dessa maneira, a relação das forças são:

F B - w c a r g a - w e n v e l o p e - w H e = F l i q (1)

Ou seja, temos uma força liquida para cima. A força flutuante, F B , também está para cima e os pesos está puxando o balão pra baixo.

Sabendo disso, precisamos relacionar a força flutuante com o volume do hélio e a densidade do ar. Logo, podemos utilizar do princípio de Arquimedes. Com isso,

F B = w d e s l o c a d o = ρ a r V g  

Sabemos também:

w H e = ρ H e V g

Substituindo as considerações feitas na eq. (1):

ρ a r V g - w c a r g a - w e n v e l o p e - ρ H e V g = 30,0

Isolando o volume:

V = 30,0 + w c a r g a + w e n v e l o p e ρ a r - ρ H e g

Passo 3

Lembra que, podemos relacionar o volume com a lei do gás ideal. Por isso que isolamos, como a lei do gás ideal é dada por:

P V = n R T

n = P V R T =   P ( 30,0 + w c a r g a + w e n v e l o p e ) R T ρ a r - ρ H e g

Pronto! Se substituirmos os valores teremos nossa resposta do item a), também iremos fazer a transformação de m 3 para L, pois o nosso R está em ( L * a t m / m o l * K ):

n = 1,00 * 30,0 + 50,0 + 110 * 1 L 10 - 3 m 3 8,206 * 10 - 2 * 273 * 1,293 - 0,179 * 9,81

n = 776   m o l

Passo 4

Para o encontrarmos a altitude que o balão está totalmente inflado, no item b), teremos que lembrar a expressão da variação da pressão atmosférica com a altitude, dado por:

P h = P o e - C h

Onde C = 0,13   k m - 1 .

Isolando o h, teremos:

h = 1 C ln ⁡ P o P h (2)

Podemos relacionar, P ( h ) , com lei do gás ideal:

P h = n R T V

Substituindo em na eq. (2):

h = 1 C ln ⁡ P o n R T V = 1 C ln ⁡ P o V n R T  

Pronto! Só substituirmos os valores e acharmos a altitude, lembra de fazer a transformação de m 3 para L. Portanto:

  h = 1 0,13 ln ⁡ 1,00 * 32,0   m 3 * 1 L 10 - 3 m 3 776 * 8,206 * 10 - 2 * 273  

h = 4,7   k m

Passo 5

Primeiro vamos escrever a condição na qual deve ser satisfeita se o balão chegar à altitude totalmente inflada:

F r e s = F B - w t o t a l ≥ 0 (3)

Ou seja, a resultante entre a força flutuante e o peso total tem que ser maior ou igual a zero para satisfazer nossa condição.

Passo 6

A soma de todas os pesos é dada por:

w t o t a l = w c a r g a + w e n v e l o p e + w H e

Como,

w H e = ρ H e V g

Temos,

w t o t a l = w c a r g a + w e n v e l o p e + ρ H e V g

Estamos quase terminando! Expresse a força flutuante em termos da densidade:

F B = ρ a r , h V g

Como a densidade do ar depende a pressão atmosférica, podemos relaciona-las, ou seja,

P h P o = ρ a r , h ρ a r

Assim,

ρ a r , h = P h P o ρ a r

Substituindo na expressão da força flutuante, temos que:

F B = P h P o ρ a r V g

Passo 7

Agora vamos substituir a força flutuante na eq. (3):

F r e s =   P h P o V g ρ a r - ρ H e - w c a r g a - w e n v e l o p e

Como,

P h = P o e - C h

Temos,

F r e s =   P o e - C h P o V g ρ a r - ρ H e - w c a r g a - w e n v e l o p e

F r e s =   e - C h V g ρ a r - ρ H e - w c a r g a - w e n v e l o p e

Pronto! Chegamos na nossa expressão, Ufa! Vamos substituir os valores

F r e s = e - 0,13 * ( 4,7 ) * 32,0 * 9,81 * 1,293 - 0,179 - 110 - 50

F r e s = 30   N

Como F r e s = 30   N > 0 , o balão vai subir mais alto do que a altitude em que está totalmente inflado

Passo 8

Da eq.(2), podemos achar a altura máxima, pois a densidade é relação com a pressão. Assim,

h = 1 C ln ⁡ ρ a r ρ a r , h

Sabemos que,

ρ a r , h = F B V g =   e - C h V g ρ a r - ρ H e V g  

Dessa maneira,

h =   1 C ln ⁡ V g ρ a r e - C h V g ρ a r - ρ H e

Substituindo os valores, teremos:

h = 1 0,13 * ln ⁡ 32,0 * 9,81 * 1,293 e - 0,13 * 4,7 * 32,0 * 9,81 * 1,293 - 0,179

h = 5,8 k m

Resposta

776 mol; 4,7 km; Sim; 5,8 km

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