Enunciado

73. Um balde massa igual a 2,0   k g contendo 10,0   k g de água está pendurado em uma mola vertical ideal de constante 125   N / m e oscilando para cima e para baixo com uma amplitude igual a 3,0   c m . De repente, surge um vazamento no fundo do balde de tal modo que a água escoa à taxa constante de 2,0   g / s . Quando o balde estiver cheio até metade, ache ( a ) o período de oscilação e ( b ) a taxa em que o período está variando em relação ao tempo. O período está aumentando ou diminuindo? ( c ) Qual é o período mais curto que esse sistema pode ter?

Passo 1

Primeiro para encontrar o período, podemos usar a equação que normalmente é usada para se achar o período de um M H S , que é:

T = 2 π m k

Mas a situação pedida no item ( a ) é quando o balde está cheio pela metade, nisso a massa que temos na fórmula é a soma da massa do balde com a massa da metade da água que tínhamos originalmente, logo metade da massa de água, assim:

m = 2 + 5

⇒ m = 7   k g

Para a achar a taxa no qual o período está variando, basta derivar a equação do período em relação ao tempo, mas como fazer isso se não temos o tempo presente na equação?

Para resolver isso, vamos usar a informação que o enunciado nos dá sobre a taxa de variação da massa do balde que é 2,0   g / s é na massa que temos o tempo presente de forma indireta, temos:

d m d t = - 2,0   g / s = - 0,002   k g / s

Então para achar a variação do período, basta fazer

d T d t

Depois verificar se essa taxa é positiva ou negativa, para saber se o período está crescendo ou diminuindo, mas pela equação do período já dá para ter uma noção de que vai diminuir, já que T é diretamente proporcional a m .

O menor período possível vai ser quando toda a água sair e só sobrar o balde balançando com seus 2,0   k g , aí basta usar a fórmula do período de novo.

Passo 2

Vamos achar o período do balde quando ele está cheio pela metade, temos a seguinte fórmula:

T = 2 π m k

Substituindo os valores que sabemos, temos:

T = 2 π 7 125

⇒ T = 2 π 0,056

Temos então que:

T = 1,48   s

Passo 3

Agora vamos derivar a equação do período em relação a t , temos a seguinte equação:

T = 2 π m k

Derivando:

d T d t = 2 π k m 1 2 '

= 2 π k 1 2 m - 1 2 d m d t

Assim:

d T d t = π k m d m d t

Graças ao enunciado, sabemos que:

d m d t = - 0,002   k g / s

Então:

d T d t = π k m ( - 0,002   )

Substituindo os valores de k e m , temos:

d T d t = π ( 125 ) ( 7 ) ( - 0,002   )

⇒ d T d t = - 2,12 * 10 - 4   s

Assim o período diminui 2,12 * 10 - 4   s por segundo.

Passo 4

Como foi dito no passo 1 o menor período possível é quando o balde estiver completamente vazio, como foi visto no passo anterior o período diminui com o tempo por conta da massa diminui com o tempo.

Então vamos usar a equação do período somente com a massa do balde, assim:

T = 2 π m k

Substituindo o que sabemos, temos:

T = 2 π 2 125

⇒ T = 2 π 0,016

Então temos que:

T = 0,795   s

Resposta

( a )

T = 1 , 48   s

( b )

d T d t = - 2,12 * 10 - 4   s

O período está diminuindo.

( c )

T = 0,795   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois pêndulos simples são relacionados como segue. O pêndulo A possui comprimento L A e massa m A ; o pêndulo B possui comprimento L B , e massa m B . Eles possuem o mesmo período. Se a única diferenç
Dois pêndulos simples são relacionados como segue. O pêndulo A possui comprimento L A e massa m A ; o pêndulo B possui comprimento L B , e massa m B . Se o período de A é duas vezes o período de B, en
Estime a largura do armário de um relógio de pêndulo comum em relação à largura da extremidade na ponta do pendulo, supondo que o movimento desejado do pêndulo é harmônico simples.
Um astronauta chega a um novo planeta e utiliza um instrumento simples para determinar a acelerçaão da gravidade local. Antes de chegar, ele tinha registrado que o raio do planeta era 7550k m . Se o p
A figura mostra um pêndulo de comprimento L com uma bolinha de massa m . A bolinha é presa a uma mola de constante de força k , como mostrado. Quando a bolinha está diretamente abaixo do suporte do pê