Enunciado

81. Não perca o barco. Em visita a Minnesota (a ‘terra dos dez mil lagos’), você se inscreve em uma excursão ao redor de um dos maiores lagos. Ao chegar ao cais onde o barco de 1500   k g está ancorado, você descobre que o barco está oscilando com as ondas, para cima e para baixo, executando um movimento harmônico simples com amplitude igual a 20   c m . O barco leva 3,5   s para completar um ciclo de oscilação. Quando o barco está em seu ponto mais alto, o convés está na mesma altura que o cais. Enquanto observa o barco oscilando, você, que possui uma massa de 60   k g , começa a se sentir um pouco tonto, em parte por ter comido peixe demais no jantar. Em consequência, você se recusa a embarcar a não ser que o nível do convés esteja a 10   c m ou menos do nível do cais. Quanto tempo você tem para embarcar confortavelmente a cada ciclo do M H S .

Passo 1

Para achar o tempo pedido no enunciado, o melhor caminho é a equação da posição em função do tempo, que é a seguinte:

x = A cos ⁡ ω t + ϕ

Mas considerando que em t = 0 , temos x = ± A , logo ϕ = 0 .

Assim:

x = A cos ⁡ ω t

Para achar o intervalo de tempo, podemos descobrir o tempo x = - A e em x = - 0,1 , que é o intervalo de altura tolerante para que nós não passemos mal e calcularmos a diferença entre esses tempos, achando assim o intervalo

Mas cuidado que não temos apenas o caso do barco ir de - A até 0,1   m , temos também o caso 0,1   m até A , no qual o intervalo vai ser o mesmo, mas no caso que escolhermos o resultado que encontramos tem quer ser multiplicado por 2 .

Uma coisa a se notar é que o enunciado não nos dá o valor de ω , então temos que escrevê-lo em termos de coisas que conhecemos.

Vamos lembrar que:

ω = 2 π f

E que:

f = 1 T

Assim:

ω = 2 π T

Passo 2

Vamos então achar o valor de t para que x = - A = 0,2   m , esse caso nem precisamos fazer conta, se você olhar no passo 1 eu disse em que valor de t que x = - A , que é t = 0 .

Vamos então achar o valor de t para x = - 0,1   m , temos:

x = A cos ⁡ ω t

Como vimos antes, temos ω = 2 π / T , assim:

x = A cos ⁡ 2 π T t

Agora vamos isolar t , temos:

cos ⁡ 2 π T t = x A

⇒ 2 π T t = arccos ⁡ x A

Então temos que:

t = T 2 π arccos ⁡ x A

Agora substituindo os valores que temos, ficamos com:

t = 3,5 2 π arccos ⁡ - 0,1 - 0,2

Assim:

t = 0,583   s

Então como foi dito no passo 1 o tempo que se tem para subir no barco é o dobro disso, então:

t s = 1,17   s

Resposta

t s = 1,17   s

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