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Um balonista de ar quente que se desloca verticalmente para cima com velocidade constante de módulo igual a 5,0   m / s   deixa cair um saco de areia no momento em que ele está a uma distância de 40,0   m acima do solo (Figura 2.41). Após ser largado, o saco de areia, passa a se mover em queda livre. a) Calcule a posição e a velocidade do saco de areia 0,250   s e 1,0   s depois de ser largado. b) Calcule o tempo que o saco de areia leva para atingir o solo desde o momento em que ele foi lançado. c) Qual é a velocidade do saco de areia quando ele atinge o solo? d) Qual é a altura máxima em relação ao solo atingida pelo saco de areia? e) Faça gráficos a y t , v y t e y t para o movimento do saco de areia.

Passo 1

Quando ele larga o saco de areia, como o balão está subindo com velocidade 5 m / s , o saco cheio de areia inicialmente terá essa mesma velocidade, nesse mesmo sentido.

Vamos fazer uma recordação: pela Lei da Inércia “um corpo que está se movendo tende a continuar se movendo, até que a resultante das forças atuando sobre ele não seja nula”.

Lembra o que acontece quando alguém freia bruscamente, e o carona é arremessado para frente? No caso, o saco tende a continuar subindo a 5 m / s , porém a gravidade vai começar a atuar sobre ele, retardando o movimento de subida.

Então, ele faz um lançamento vertical para cima.

Além disso, ele é largado de 40m de altura, sendo essa sua posição inicial.

D a d o s : { v 0 = 5 m / s   S 0 = 40 m   a = - g = - 9,8 m / s 2  

Passo 2

O item (a) pede a posição e a velocidade do saco em t = 0,250s e em t = 1s em, basta usarmos as equações da posição do movimento uniformemente variado:

A equação é:

S = S 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Substituindo os dados e aplicando t = 0,250   s :

S = 40 + 5 ⋅ 0,250 - 9,8 ⋅ 0,250 2 2

S = 40,94 m

Note que achamos um valor mais alto que a posição inicial.

Passo 3

Vamos refazer o último passo, mas para t = 1,0   s :

S = 40 + 5 ⋅ 1 - 9,8 ⋅ 1 2 2

S = 40,10   m

Passo 4

Vamos agora calcular a velocidade de cada tempo do item (a) usando a equação:

v = v 0 + a ⋅   t

Para t = 0,250   s :

v = 5 - 9,8 ⋅ 0,250

v = 2,55 m / s

Passo 5

Para t = 1,0   s :

v = 5 - 9,8 ⋅ 1

v = - 4,80 m / s

Passo 6

Item (b)

Para descobrir o tempo em que o saco chega ao solo, temos que encontrar o tempo quando S = 0 m . Para isso vamos usar a equação da posição pelo tempo.

S = S 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Substituindo os valores encontrados temos:

0 = 40 + 5 ⋅ t - 4,9 ⋅ t 2

Resolvendo a equação de segundo grau:

t 1 = - 2,39 s       e       t 2 = 3,41 s  

O tempo não é negativo, e por isso, vamos ignorar quando ele for menor que zero. Assim, a resposta do item é:

t = 3,41 s

Passo 7

Para encontrar a velocidade com que o saco atinge o solo , podemos usar tanto a equação da velocidade pelo tempo, como a equação de Torricelli.

Para facilitar nossos cálculos, vamos usar, a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 ⋅ a ⋅ ∆ S

Temos todos os dados para descobrir a velocidade do saco:

v 2 = 5 2 + 2 ⋅ - 9,8 ⋅ 0 - 40

v 2 = 809

v = ± 28,44 m / s  

Como ele pede a velocidade, é importante mostrar qual o sentido dela: ao chegar ao chão, o saco de areia estará caindo, então sua velocidade é para baixo, portanto, negativa.

v = - 28,44 m / s

Passo 8

A altura máxima acontece quando a velocidade é zero. Como o enunciado não forneceu o tempo onde isso acontece, podemos usar a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 ⋅ a ⋅ ∆ S

0 2 = 5 2 + 2 ⋅ - 9,8 ⋅ S m á x - 40

S m á x - 40 = 25 19,6

S m á x = 41,28 m

Passo 9

Sabemos que a aceleração é a aceleração da gravidade que é constante e negativa.

Para fazer o gráfico da velocidade note que o saco de areia inicialmente viaja para cima com velocidade decrescente e depois se move para baixo com velocidade crescente.

Sabemos que o gráfico da posição é uma parábola por se tratar de um movimento uniformemente variado. Repare que assim como comentamos, o saco começa subindo até ter sua velocidade igual a zero e então ele começa a descer.

Resposta

  1. Para t = 0,250   s : S = 40,94 m e v = 2,55 m / s ;
  2. Para t = 1,0   s : S = 40,10 m e v = - 4,80 m / s .

  3. t = 3,41 s
  4. v = - 28,44 m / s
  5. S m á x = 41,28 m

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