Enunciado

Uma barra delgada e uniforme de 3,80   k g e 80,0   c m de comprimento possui uma bola muito pequena de 2,50   k g grudada em cada extremidade (Figura 10.52 ). Ela é sustentada horizontalmente por um eixo fino, horizontal e com atrito desprezível, que passa pelo seu centro e é perpendicular à barra. Subitamente, a bola do lado direito se descola e cai, mas a outra permanece grudada na barra.

a) Ache a aceleração angular da barra logo após a bola cair.

b) A aceleração angular permanecerá constante enquanto a barra continua a oscilar? Em caso negativo, ela vai aumentar ou diminuir?

c) Ache a velocidade angular da barra logo após ela oscilar pela sua posição vertical.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma barra delgada e uniforme de 3,80   k g e 80,0   c m de comprimento possui uma bola muito pequena de 2,50   k g grudada em cada extremidade.

Ela é sustentada horizontalmente por um eixo fino, horizontal e com atrito desprezível, que passa pelo seu centro e é perpendicular à barra.

Subitamente, a bola do lado direito se descola e cai, mas a outra permanece grudada na barra.

Queremos calcular a aceleração angular da barra logo após a bola cair e analisar se essa será constante ou não.

Também devemos calcular da barra logo após a bola cair.

Bora devagarzinho que vai dar certo!! 😉

Passo 2

  1. Vamos começar entendendo a questão: aqui nós temos uma barra com duas bolinhas equilibradas, mas no momento que uma se descola, a barra perde o equilíbrio e começa a girar.

E vamos concordar que ela vai girar com uma aceleração né? E é justamente isso que a letra a nos pede.

Para resolver, precisamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade angular da barra, que oscila na posição vertical.

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Para o eixo de rotação, a barra possui I b a r r a = 1 12 m L 2 . A massa da barra é 3,8   k g e o comprimento 0,800   m . Quanto a energia potencial da barra, não sofre alteração.

Para a altura, vamos considerar que y 1 = 0   e   y 2 = - L 2 (tendo em vista que a bola cai). Calculando o torque:

τ = m g y

Passo 3

Para o momento de inércia, temos:

I = I b a r r a + I b o l a

I = 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a L 2

I = 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a L 2 2

Substituindo em ∑ τ = I α ,

m g L 2 = 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a L 2 2 × α

α = m b o l a g L 2 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a ( L 2 ) 2

Passo 4

Vamos organizar a expressão que está bem feia e difícil de entender. Reescrevemos o momento de inercia da barra para facilitar a simplificação:

α = m b o l a g L 2 1 3 m b a r r a L 2 2 + m b o l a ( L 2 ) 2

α = L 2 ( L 2 ) 2 × m b o l a g 1 3 m b a r r a + m b o l a

α = ( L 2 × 4 L 2 )   m b o l a g 1 3 m b a r r a + m b o l a

α = 2 g L m b o l a m b a r r a 3 + m b o l a

Logo,

α = 2 ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,800   m ) ( 2,5   k g 3,8   k g 3 + 2,5   k g )

α = 16,3   r a d / s 2

Passo 5

Como podemos ver no item (b), outra pergunta que podemos começar a fazer é se a barra cai junto com a bola...

Possivelmente, sim, como podemos perceber na figura, a barra está em equilíbrio, certo?? Se uma das bolas cai, perde-se essa sensação. (Imaginemos uma gangorra, por exemplo)

Assim, quando a bola cai, a barra oscila até o instante que para.

À medida que a barra começa a oscilar, o momento para o peso da bola diminui e a aceleração angular da barra diminui. Portanto, a aceleração não é constante.

Passo 6

Para o item (c), vamos usar a conservação de energia,

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

No instante inicial, a energia potencial U e a energia cinética K são iguais a zero, pois não há movimento. Então,

0 = K 2 + U 2

Assim, substituindo os dados, temos:

0 = 1 2 ( I b a r r a + I b o l a ) ω 2 + m g ( - L 2 )

- m g ( - L 2 ) = 1 2 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a L 2 2 ω 2

Passo 7

Isolando a velocidade angular:

ω = m b o l a g ( L 2 ) 1 2 ( 1 12 m b a r r a L 2 + m b o l a ( L 2 ) 2 )

Da mesma maneira que fizemos no passo 2 , vamos organizar essa equação:

ω = m b o l a g ( L 2 ) 1 2 1 12 m b a r r a L 2 2 + m b o l a L 2 2  

ω = L 2 × m b o l a g 1 2 L 2 4 1 3 m b a r r a + m b o l a  

ω = L 2 L 2 8 m b o l a g 1 3 m b a r r a + m b o l a  

ω = L 2 × 8 L 2 m b o l a g 1 3 m b a r r a + m b o l a  

Agora vai ficar bonitinha, olha só:

ω = 4 L m b o l a g 1 3 m b a r r a + m b o l a

ω = g L × 4 m b o l a m b a r r a 3 + m b o l a

Uffa!! É trabalhoso mesmo, mas conseguimos!! Agora podemos substituir os dados:

ω = ( 9,8   m / s 2 ) 0,800   m × 4 ( 2,5   k g ) 3,8   k g 3 + 2,5   k g

ω = 5,7   r a d / s

Prontinho!!

Resposta

a) α = 16,3   r a d / s 2

b) Não é constante; diminui.

c) ω = 5,7   r a d / s .

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