Enunciado

Uma barra longa cilíndrica, de material cuja suscetibilidade magnética é χ m ≪ 1 , transporta uma corrente elétrica com densidade uniforme j → = j   z ^ . Calcule: (a) a magnetização da barra em função das coordenadas x ,   y cuja origem está sobre o eixo da barra; (b) a densidade de corrente de magnetização dentro da barra.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse exercício vamos abordar um pouco as equações de Maxwell dentro de um meio magnético. Em termos do campo H → , a lei de Ampere com correção de Maxwell é dada por

∇ × H → = κ ϵ 0 ∂ E → ∂ t + j →

Como não estamos falando de campo elétrico aqui, a equação se reduz a

∇ × H → = j →

Em forma integral essa equação fica

∮ H → ⋅ d l → = I

Vamos considerar como caminho uma circunferência na extremidade da barra cilíndrica de raio r , de modo que

H ⋅ 2 π r = I = j ⋅ π r 2

Assim,

H = j r 2

Vetorialmente temos que

H → = j r 2   e ^ φ

Aqui e ^ φ é o versor das coordenadas polares perpendicular e ^ r :

Observe que podemos escrever

e ^ φ = - s e n   φ   x ^ + cos ⁡ φ   y ^

Logo,

H → = j 2 - r   s e n   φ   x ^ + r cos ⁡ φ   y ^

Passando para coordenadas cartesianas, é fácil perceber que

x = r cos ⁡ φ               e             y = r   s e n   φ

Logo,

H → = j 2 - y   x ^ + x   y ^

Passo 2

Para achar a magnetização dentro da barra usamos a relação

M → = χ m H →

Portanto,

M → = χ m j 2 - y   x ^ + x   y ^

Passo 3

No item (b) nós queremos achar a corrente de magnetização, dada por

j → M = ∇ × M → = χ m j 2   x ^ y ^ z ^ ∂ x ∂ y 0 - y x 0

Fazendo as contas nós achamos

j → M = χ m j 2 1 + 1   z ^ → j → M = χ m j   z ^

Lembrando que j → = j   z ^ , temos que

j → M = χ m j →

Vemos que a corrente de magnetização dentro do material é igual a corrente externa multiplicada pelo fator χ m 😉.

Resposta

M → = χ m j 2 - y   x ^ + x   y ^

j → M = χ m j   z ^ = χ m j →

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