Enunciado

65 - Um indutor, um capacitor e um resistor são conectados em série a uma fonte ca. Se a resistência, a indutância e a capacitância forem duplicadas, por qual fator cada uma das seguintes grandezas variará? Indique se elas aumentam ou diminuem:

  1. A frequência angular de ressonância;
  2. A reatância indutiva;
  3. A reatância capacitiva;
  4. A impedância dobra?

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, a frequência angular de ressonância é dada por...

ω 0 = 1 L C     →

Se cada um desses elementos dobrarem, vamos ganhar uma nova frequência angular ω 0 ' que se relaciona com a primeira assim...

ω 0 ' = 1 2 L ⋅ 2 C     →

ω 0 ' = 1 4 L C     →

ω 0 ' = 1 2 L C     →

ω 0 ' = ω 0 2

Ou seja, ela cai pela metade!

Passo 2

L e t r a   B :

A reatância indutiva é dada por...

X L = ω L   →

Se L dobrar, vamos ter uma nova reatância indutiva X L ' que vale...

X L ' = ω 2 L     →

X L ' = 2 X L

O dobro da antiga!

Passo 3

L e t r a   C :

De forma análoga, a reatância capacitiva é...

X C = 1 ω C   →

Dobrando C ...

X C ' = 1 ω 2 C   →

X C ' = X C 2

A reatância cai pela metade!

Passo 4

L e t r a   D :

Ora, vejamos que a impedância do sistema RLC em série é dada por...

Z = R 2 + X L - X C 2   →

Dobra-la, significa isso aqui...

2 Z = 2 R 2 + X L - X C 2   →

Passando esse 2 para dentro da raiz lembrando-se que 2 = 4 ...

2 Z = 4 R 2 + 4 X L - X C 2   →

Efetuando o quadrado...

2 Z = 4 R 2 + 4 X L 2 - 2 X L X C + X C 2   →

2 Z = 4 R 2 + 4 X L 2 - 8 X L X C + 4 X C 2  

Por outro lado, se a gente multiplicar todos os elementos (R, L e C ) por 2 , vimos que...

Z n = 2 R 2 + 2 X L - X C 2 2   →

Efetuando esse quadrado aí...

Z n = 4 R 2 + 4 X L 2 - 2 X L X C + X C 2 4   →

Ora, perceba que essas duas raízes aqui são diferentes...

4 R 2 + 4 X L 2 - 2 X L X C + X C 2 4 ≠ 4 R 2 + 4 X L 2 - 8 X L X C + 4 X C 2

Então...

Z n ≠ 2 Z

A impedância não dobra!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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