Enunciado

Um bloco de 100 kg em um plano inclinado está preso a outro bloco de massa m através de uma corda, como nas figuras. Os coeficientes de atrito estático e cinético para o bloco e o plano inclinado são μ s = 0,40 e μ k = 0,20 e o plano é inclinado a 18 ° com a horizontal. (a) Determine o intervalo de valores para m , a massa do bloco pendurado, para os quais o bloco de 100   k g não vai se mover a menos que seja perturbado, mas caso seja, vai deslizar para baixo pelo plano inclinado. (b) Determine um intervalo de valores para m para os quais o bloco de 100   k g não vai se mover a menos que seja perturbado, mas caso seja, vai deslizar para cima pelo plano inclinado.

Passo 1

(a) Primeiro temos que analisar o caso em que o bloco está parado, mas tendendo a deslizar para baixo.

Para isso vamos supor que o bloco estivesse deslizando pelo plano sem estar preso à massa m :

∑ F x = m 1 g sen ⁡ θ - μ m 1 g cos ⁡ θ

∑ F x = m 1 g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ

Se essa força for maior do que zero, o bloco estará acelerando para baixo:

m 1 g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ ≥ 0

Podemos dividir os dois lados por m 1 g e isolar o μ :

μ ≤ tan ⁡ 18 °

μ ≤ 0,325

Como o nosso coeficiente de atrito estático é μ = 0,40 , já garantimos que o bloco não vai entrar em movimento a menos que seja empurrado (do contrário vai permanecer em equilíbrio, porque o atrito vai ser suficiente para conter o peso).

Como o coeficiente de atrito cinético é μ = 0,20 < 0,325 , então o bloco vai acelerar para baixo caso seja empurrado.

Isso quer dizer que a massa mínima para satisfazer o item (a) é m = 0 .

Passo 2

(a) Ainda no item (a), vamos procurar a massa m máxima que satisfaz a condição.

Nesse caso temos que colocar a tensão na corda (que é igual ao peso m g e puxa o bloco para cima) na nossa conta

∑ F x = m 1 g sen ⁡ θ - μ m 1 g cos ⁡ θ - m g

E usando a mesma condição de antes:

m 1 g sen ⁡ θ - μ m 1 g cos ⁡ θ - m g ≥ 0

m 1 sen ⁡ θ - μ m 1 cos ⁡ θ ≥ m

A ideia é que a tensão na corda não supere o efeito do peso do bloco menos o atrito:

m ≤ 100 sen ⁡ 18 ° - ( 0,20 ) ( 100 ) ( cos ⁡ 18 ° )

m ≤ 11,9   k g

E então o intervalo permitido para a massa m nesse caso é:

0 ≤ m ≤ 11,9   k g

Passo 3

(b) Agora vamos analisar o caso em que o bloco tende a subir o plano. Dessa vez a força de atrito vai apontar na mesma direção da força peso.

∑ F x = m 1 g sen ⁡ θ + μ m 1 g cos ⁡ θ - m g

E pelo sistema de referência que escolhemos, a força resultante deve ser menor que zero para que o bloco tenha tendência a subir:

m 1 g sen ⁡ θ + μ m 1 g cos ⁡ θ - m g ≤ 0

m 1 sen ⁡ 18 ° + μ cos ⁡ 18 ° ≤ m

E estamos considerando que o bloco possa se mover plano acima, então usamos μ = μ k = 0,20 .

m ≥ 50   k g

E para garantir que o bloco não se mover a menos que seja empurrado, a combinação da força peso com o atrito estático deve ser maior do que a tensão m g na corda:

m 1 g sen ⁡ θ + μ m 1 g cos ⁡ θ ≥ m g

m 1 sen ⁡ θ + μ m 1 cos ⁡ θ ≥ m

100 sen ⁡ 18 ° + 0,40 100 cos ⁡ 18 ° ≥ m

m ≤ 69   k g

E então o intervalo permitido para a massa nesse caso é:

50   k g ≤ m ≤ 69   k g

Resposta

(a) 0 ≤ m ≤ 11,9   k g .

(b) 50   k g ≤ m ≤ 69   k g .

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