Enunciado

Um bloco de 5,00 kg é colocado em movimento para cima em um plano inclinado com velocidade inicial de vi = 8,00 m/s (Fig. P7.21). O bloco chega ao repouso depois de percorrer d = 3,00 m ao longo do plano, que é inclinado a um ângulo de θ = 30,0º com a horizontal. Para esse movimento, determine (a) a variação na energia cinética do bloco, (b) a variação na energia potencial do sistema bloco-Terra e (c) a força de atrito exercida sobre o bloco (presumida constante). (d) Qual é o coeficiente de atrito cinético?

Passo 1

(a)A variação da energia cinética é dada por:

∆ K = K f - K i = m ∙ v f 2 - v i 2 2

A gente tem todos os dados, podemos então calcular diretamente! Vamos ter o seguinte:

∆ K = 5,00 ∙ 0 2 - 8,00 2 2 = 5,00 ∙ - 8,00 2 2 = - 5,00 ∙ 64,00 2

∴ ∆ K = - 160   J

O valor negativo confirma pra gente, como informado, quea velocidade final do bloco é menor que a inicial (nesse caso, é nula).

Passo 2

(b)A variação da energia potencial gravitacional é dada por:

∆ U = U f - U i = m ∙ g ∙ h f - h i

Onde h f e h i são as alturas, final e inicial, do bloco, em relação à Terra.

A gente não conhece o valor pra h i , mas como a diferença h f - h i é em relação à Terra, a gente pode considerar h i como referência de ponto de partida ou seja, vale que h i = 0   m .

Com isso, a gente pode reescrever ∆ U assim:

∆ U = m ∙ g ∙ h f

Beleza, mas agora falta calcular h f . Isso a gente vai fazer por trigonometria!

Olha só, se o bloco se deslocou, pra cima, por 3,00   m , no lado da rampa que equivale à hipotenusa do triângulo retângulo (marcado em vermelho), naturalmente ele também ganhou uma altura, relativa ao cateto perpendicular ao chão, marcado em verde:

O nosso interesse é saber justamente o quanto ele subiu no cateto marcado em verde, que equivale a h f , a altura final do bloco em relação à Terra.

Uma relação que se estabelece entre o cateto verde, oposto ao ângulo θ = 30,0 ° e a hipotenusa, em vermelho, é a relação sen ⁡ θ , que no caso vai ser sen ⁡ 30,0 ° .

Essa relação, matematicamente, é:

sen ⁡ θ = c a t e t o   v e r d e h i p o t e n u s a

Como o bloco se locomoveu por 3,00   m na hipotenusa, vamos usar esse valor pra ela. A gente sabe que sen ⁡ 30,0 ° = 0,5 . Com isso, nossa incógnita vai ser a altura atingida no cateto verde, equivalente a h f .

Vamos ter:

sen ⁡ 30,0 ° = 0,5 = h f 3,00

Isolamos h f , tendo então:

h f = 0,5 ∙ 3,00

∴ h f = 1,5   m

Passo 3

Agora a gente já pode calcular ∆ U que queríamos lá no começo do Passo 2.

Considerando g = 10   m / s 2

gente vai ter, por fim:

∆ U = 5,00 ∙ 10 ∙ 1,5

∴ ∆ U = 75,0   J

Passo 4

(c)Aqui, a gente começa verificando a diferença de energia da situação inicial (bloco com velocidade v i subindo a rampa) pra situação final (bloco parado, em uma posição mais alta).

A energia do bloco na situação inicial é apenas do tipo cinética, sendo:

K i = m ∙ v i 2 2 = 5,00 ∙ 8,00 2 2 = 160   J

A energia do bloco na situação final, em repouso, é só do tipo potencial gravitacional, que vai valer:

U f = m ∙ g ∙ h f = 5,00 ∙ 10 ∙ 1,5 = 75,0   J

Repara, se no início o bloco tinha 160   J e no final apenas 75,0   J , é porque ao longo do percurso ele perdeu energia, na forma de atrito!

A gente pode escrever isso aqui:

160   J - W a t = 75,0   J

E, com isso, temos:

W a t = 160 - 75 = 85   J

Onde W a t é a energia perdida em atrito. Pela formulinha, a gente tem:

W a t = F a t ∙ d

A gente conhece W a t e d , e, assim, calculamos F a t ! A gente vai ter:

∴ F a t = W a t d = 85 3,00 ≅ 28,3   N

Passo 5

(d)Pela formulinha pra força de atrito, a gente tem:

F a t = μ ∙ N

Onde μ é o coeficiente de atrito que a gente quer determinar e N é a força normal.

Com isso, a gente precisa determinar N pra podermos calcular μ . Olha só esse esqueminha:

Pela decomposição dos vetores que representam as forças sobre o bloco, a gente conclui que a força normal N precisa ser de igual módulo à decomposição perpendicular do vetor peso à rampa, já que o bloco não afunda na rampa e nem flutua sobre a mesma!

Com isso:

N = m ∙ g ∙ cos ⁡ 30,0 °

Assim:

N = 5,00 ∙ 10 ∙ 3 2 ≅ 43,3   N

Finalmente, a gente pode determinar o coeficiente de atrito μ . A gente vai ter:

μ = F a t N = 28,3 43,3

∴ μ ≅ 0,654

Resposta

(a) ∆ K = - 160   J

(b) ∆ U = 75,0   J

(c) F a t = 28,3   N

(d) μ = 0,654

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