Enunciado

78 . Uma longa rampa fabricada em ferro fundido é inclinada a um ângulo constante θ = 52,0 ° acima da horizontal. Blocos pequenos, cada um com massa de 0,42   k g , mas fabricados de materiais diferentes, são lançados do repouso a uma altura vertical h acima da base da rampa. Em cada caso, o coeficiente de atrito estático é tão pequeno que os blocos começam a deslizar rampa abaixo assim que são lançados. Você deverá determinar h de modo que cada bloco tenha uma velocidade de 4,00   m / s quando atingir a base da rampa. Você conhece estes coeficientes de atrito de deslizamento (cinético) para diferentes pares de materiais:

( a ) Use as considerações de trabalho e energia para achar o valor necessário de h se o bloco for feito de ( i ) ferro fundido; ( i i ) cobre; ( i i i ) zinco. ( b ) Qual será o valor exigido de h para o bloco de cobre se sua massa for dobrada para 0,84   k g ? ( c ) Para determinado bloco, se θ for aumentado enquanto h é mantido igual, a velocidade v do bloco na base da rampa aumenta, diminui ou permanece a mesma?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve esse!

O segredo desse problema é usar a conservação de energia ao nosso favor, mas temos que nos atentar que nesse sistema temos uma força dissipativa (força de atrito) que realiza trabalho, então temos que:

Δ K + Δ U = W

⇒ K f - K i + U f - U i = W

Segundo o enunciado temos que o bloco parte do repouso, logo K i = 0 e considerando o zero de energia potencial na parte mais baixa da rampa, temos que U f = 0 , assim:

K f - U i = W

A partir disso vamos encontrar o que o enunciado pede, como a altura do bloco para caso em ( a ) e a altura para o caso do item ( b ) e como a velocidade se comporta em relação ao ângulo θ pedido em ( c ) .

Passo 2

Primeiro vamos chegar na expressão para o trabalho dissipado pela força de atrito, temos que o trabalho é dado por:

W = F d

No nosso caso F é a força de atrito cinético que é dada por:

F c = N μ c

Mas como a rampa está inclinada de um ângulo θ , temos que a componente de N que está na direção da rampa é dado por:

N cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

Então temos que:

W = ( μ c m g cos ⁡ θ ) d

Mas como a força de atrito é uma força dissipativa, temos que:

W = - ( μ c m g cos ⁡ θ ) d

O enunciado não nos diz a distância percorrida pelo bloco na rampa, mas podemos usar a trigonometria ao nosso favor.

Considerando d como sendo a hipotenusa do triangulo formado com a rampa e h o cateto oposto, temos que:

d = h sen ⁡ θ

Então temos que:

W = - ( μ c m g cos ⁡ θ ) h sen ⁡ θ

⇒ W = - μ c m g h tg ⁡ θ

Passo 3

Começando com o item ( a ) vamos encontrar uma expressão para altura h .

K f - U i = W

1 2 m v f 2 - m g h = - μ c m g h tg ⁡ θ

⇒ v f 2 - 2 g h = - 2 μ c g h tg ⁡ θ

Agora isolando h , temos:

h 2 g 1 - μ c tg ⁡ θ = v f 2

⇒ h = v f 2 2 g 1 - μ c tg ⁡ θ

Essa expressão vai valer para todos os casos, o que vai mudar vai ser o valor de μ c

Passo 4

Para o caso ( i ) , bloco de ferro fundido, temos que μ c = 0,15 , assim:

h = 4 2 2 ( 9,8 ) 1 - 0,15 tg ⁡ ( 52 ° )

= 16 17,3

Assim temos que:

h = 0,92   m

Para o caso ( i i ) , bloco de cobre, temos que μ c = 0,29 , assim:

h = 4 2 2 ( 9,8 ) 1 - 0 , 29 tg ⁡ ( 52 ° )

= 16 1 5,16

Assim temos que:

h = 1,1   m

Para o caso ( i i i ) , bloco de zinco, temos que μ c = 0 , 85 , assim:

h = 4 2 2 ( 9,8 ) 1 - 0 , 85 tg ⁡ ( 52 ° )

= 16 6,58

Assim temos que:

h = 2 , 4   m

Passo 5

O item ( b ) quer saber o valor de h para o cobre se a massa for dobrada, mas em nenhum momento nas contas do item a precisamos usar a massa, já que ela foi cortada quando estávamos desenvolvendo a expressão para h .

Então o valor de h se mantem o mesmo de 1,1   m .

Passo 6

Agora vamos analisar o item ( c ) .

A expressão que temos para h é a seguinte:

h = v f 2 2 g 1 - μ c tg ⁡ θ

Se aumentarmos o valor de θ temos que tg ⁡ θ também aumenta, logo o fator μ c tg ⁡ θ diminuí, se esse cara diminui o termo entre parênteses aumenta.

Então para h permanecer constante a velocidade v f deve aumentar também.

Resposta

( a )

i   h = 0,92   m

i i   h = 1,1   m

i i i   h = 2,4   m

( b )

h = 1,1   m

( c )

A velocidade aumenta.

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