Enunciado

Um bloco escorrega para baixo com velocidade constante em um plano inclinado de ângulo θ . Em seguida, o bloco é lançado para cima no mesmo plano com velocidade inicial v 0 . (a) Que distância o bloco sobe até parar? (b) Depois de parar, o bloco torna a escorregar para baixo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos iniciar este problema fazendo o DCL do bloco quando ele escorrega para baixo:

A partir da ilustração, podemos aplicar a segunda lei de Newnton para cada eixo:

m g sin ⁡ θ - f k = 0       e q . 1

N - m g cos ⁡ θ = 0       e q . 2

Igualamos a zero, porque neste primeiro momento o bloco desce o plano inclinado com velocidade constante e, portanto, a aceleração é nula, a = 0 .

Lembrando que a força de atrito cinético pode ser calculada a partir da seguinte relação:

f k = μ k N       e q . 3

Passo 2

A partir das equações acima, podemos determinar o valor do μ k em função do ângulo θ . Para isso, vamos reescrever a e q . 3 usando a e q . 2 :

f k = μ k m g cos ⁡ θ

Substituindo a expressão acima na e q . 1 :

m g sin ⁡ θ - μ k   m g cos ⁡ θ = 0

Dividindo os dois lados por m g e isolando μ k :

μ k = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ       e q . 4

Passo 3

Agora, vamos fazer o DCL do bloco quando está subindo o plano inclinado:

Aqui, podemos perceber que não há mais o equilíbrio das forças o eixo x , portanto, aplicando a segunda lei de Newton:

f k + m g sin ⁡ θ = m a x       e q . 5

N - m g cos ⁡ θ = 0       e q . 6

Passo 4

Reescrevendo a e q . 5 em função das expressões já calculadas para f k , temos:

μ k N + m g sin ⁡ θ = m a x

tan ⁡ θ   m g cos ⁡ θ + m g sin ⁡ θ = m a x

sin ⁡ θ cos ⁡ θ m g cos ⁡ θ + m g sin ⁡ θ = m a x

Dividindo tudo por m :

a x = g sin ⁡ θ + g sin ⁡ θ = 2 g sin ⁡ θ

Passo 5

Como a aceleração calculada é constante, podemos usar a equação de Torricelli para determinar a distância percorrida até parar:

v 2 = v 0 2 - 2 a ∆ x

Sabendo que v = 0 , pois queremos a distância até o bloco PARAR, v 0 foi dado no enunciado e a aceleração foi calculada no passo anterior, podemos isolar ∆ x :

∆ x = v 0 2 2 2 g sin ⁡ θ = v 0 2 4 g sin ⁡ θ

Passo 6

A partir da e q . 1 que mostra o equilíbrio entre a componente do peso paralela ao plano inclinado e a força de atrito cinético, podemos interpretar que como a força de atrito estático é maior do que a força de atrito cinético, uma vez em repouso, este só irá se mover caso ocorra sobre ele uma outra força externa para coloca-lo em movimento. Como neste caso, não nenhuma outra força externa, então o bloco não descerá, portanto, permanecerá em repouso.

Resposta

  1. ∆ x = v 0 2 4 g sin ⁡ θ ;
  2. N ã o   e s c o r r e g a r á   d e   v o l t a .
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