Enunciado

Um bloco, de massa m , em repouso sobre uma mesa horizontal, é preso a uma mola que tem uma constante de força k , como mostrado na figura 14-36. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é μ c . A mola está frouxa se o bloco está na origem ( x = 0 ) e o sentido + x é para a direita. A mola é distendida de um comprimento A, com k A > μ c m g , e o bloco é liberado. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao bloco para obter uma equação para sua aceleração d 2 x d t 2 durante o primeiro meio ciclo, quando o bloco se move para a esquerda. Mostre que esta equação pode ser escrita como d 2 x ' d t 2 = - ω 2 x ' , onde ω = k m e x ' = x - x 0 , com x 0 = μ c m g k = μ c g ω 2 . Repita a parte (a) para o segundo meio ciclo, quando o bloco se move para a direita e mostre que d 2 x ' ' d t 2 = - ω 2 , onde x ' ' = x + x 0 e x 0 tem o mesmo valor.

Passo 1

  1. Bora lá, galera, vamos só analisar a dinâmica do movimento do bloco que já vai dar bom. Vamos precisar de uns algebrismos marotos, mas nisso a gente já tá craque!
  2. F a t - k x = m d 2 x d t 2

    m d 2 x d t 2 = μ c m g - k x = - k x - μ c m g k

    Sendo x 0 = μ c m g k , e na linha seguinte, x ' = x - x 0 :

    m d 2 x d t 2 = - k x - x 0

    d 2 x d t 2 = - k m x '

    d 2 x d t 2 = - ω 2 x '

    Como ω 2 = k m , então x 0 = μ c g ω 2 .

    A solução dessa equação aí em cima é a solução genérica de um M.H.S.!

    x ' = x 0 ' cos ⁡ ω t + δ

    Agora a gente deriva pra achar a velocidade.

    v ' = - ω x 0 ' s e n ω t + δ

    Vamos usar as condições iniciais pra achar x 0 ' e δ . No momento inicial, x ' 0 = x - x 0 e v ' 0 = 0 . Aplicando isso nas fórmulas:

    x ' 0 = x 0 ' cos ⁡ ω 0 + δ = x - x 0

    x 0 ' cos ⁡ δ = x - x 0

    v ' 0 = - ω x 0 ' s e n ω 0 + δ = 0

    x 0 ' s e n δ = 0

    E aí se você fizer um bom chute, você vê rapidinho que x 0 ' = x - x 0 e δ = 0 são a solução óbvia disso aí! Então a expressão fica:

    x ' = x - x 0 c o s ⁡ ( ω t )

    x = x - x 0 cos ⁡ ω t + x 0

    Passo 2

  3. Agora para o movimento para a direita, a conta é basicamente a mesma, só que nesse caso a força resultante é:

- F a t - k x = m d 2 x d t 2

m d 2 x d t 2 = - μ c m g - k x = - k x + μ c m g k

Sendo x 0 = μ c m g k , e na linha seguinte, x ' ' = x + x 0 :

m d 2 x d t 2 = - k x + x 0

d 2 x d t 2 = - k m x ' '

d 2 x d t 2 = - ω 2 x ' '

A solução dessa equação aí em cima é a solução genérica de um M.H.S.!

x ' ' = x 0 ' ' cos ⁡ ω t + δ

Agora a gente deriva pra achar a velocidade.

v ' ' = - ω x 0 ' ' s e n ω t + δ

Vamos usar as condições iniciais pra achar x 0 ' ' e δ . No momento inicial, x ' ' 0 = x + x 0 e v ' ' 0 = 0 . Aplicando isso nas fórmulas:

x ' ' 0 = x 0 ' ' cos ⁡ ω 0 + δ = x + x 0

x 0 ' ' cos ⁡ δ = x + x 0

v ' ' 0 = - ω x 0 ' ' s e n ω 0 + δ = 0

x 0 ' ' s e n δ = 0

E aí se você fizer um bom chute, você vê rapidinho que x 0 ' ' = x + x 0 e δ = 0 são a solução óbvia disso aí! Então a expressão fica:

x ' ' = x + x 0 c o s ⁡ ( ω t )

x = x + x 0 cos ⁡ ω t - x 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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