Enunciado

Um bloco de massa m, sobre uma mesa horizontal sem atrito, é preso a urna mola que está fixa ao teto (figura abaixo). A distância vertical entre o topo do bloco e o teto é y 0 , e sua posição horizontal é x. Quando o bloco está em x = 0, a mola, cuja constante de força é k, está completamente frouxa. (a) Quanto vale a componente x da força da mola sobre o bloco, como função de x? (b) Mostre que F x é proporcional a x 3 para valores de x suficientemente pequenos. (c) Se o bloco é largado do repouso em x = x 0 , com x 0 ≪ y 0 , qual é sua rapidez ao atingir x = 0?

Passo 1

Letra (a)

Pra começar, a temos que:

F x = - F s s e n ϕ

O sinal de menos é porque a componente F x é restauradora, sempre tentando trazer o bloco de volta para a origem. Além disso, temos:

F s ≈ k ( l - y 0 )

Então

F x = - k ( l - y 0 ) s e n ϕ

Passo 2

Agora vamos usar um pouquinho de trigonometria:

s e n ϕ = x l

Joga lá na força

F x = - k l - y 0 x l

F x = - k x 1 - y 0 l

Agora a gente usa o teorema de Pitágoras:

l 2 = x 2 + y 0 2 ⇒ l = x 2 + y 0 2

Joga lá na expressão da força

F x = - k x 1 - y 0 x 2 + y 0 2

Passo 3

Letra (b)

Agora a gente vai precisar dar aquela forçada de barra. Vamos lembrar daquela aproximação:

1 + x n ≈ 1 + n x

Essa aproximação aí vale quando x é bem pequeno. Vamos voltar para a força:

F x = - k x 1 - y 0 x 2 + y 0 2

F x = - k x 1 - 1 x 2 + y 0 2 y 0

F x = - k x 1 - x 2 + y 0 2 y 0 - 1

F x = - k x 1 - x 2 y 0 2 + 1 - 1

F x = - k x 1 - 1 + x 2 y 0 2 - 1 / 2

Passo 4

Como x é bem pequeno, x/y também é:

1 + x 2 y 0 2 - 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 x 2 y 0 2

Joga isso lá na força:

F x = - k x 1 - 1 - 1 2 x 2 y 0 2

F x = - k x ∙ 1 2 x 2 y 0 2

F x = - k 2 y 0 2 x 3

Passo 5

Letra (c)

Vamos usar o teorema do trabalho-energia:

W = E c - E c , i = E c - 0

W = 1 2 m v 2

Passo 6

Sabemos que

W = ∫ L 0 F x d x

W = ∫ L 0 - k 2 y 0 2 x 3 d x

W = - k 2 y 0 2 ∫ L 0 x 3 d x

W = - k 2 y 0 2 x 4 4 L 0  

W = - k 2 y 0 2 - L 4 4

W = k L 4 8 y 0 2

Passo 7

Joga esse trabalho lá no teorema do trabalho-energia:

k L 4 8 y 0 2 = 1 2 m v 2

Agora a gente isola o v :

v 2 = 2 m k L 4 8 y 0 2 = k L 4 4 m y 0 2

v = k L 4 4 m y 0 2

v = L 2 2 y 0 k m

Resposta

Letra (a): F x = - k x 1 - y 0 x 2 + y 0 2

Letra (b): ver solução para ver que F x ≈ - k 2 y 0 2 x 3

Letra (c): v = L 2 2 y 0 k m

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