Enunciado

Boa parte do material dos anéis de Saturno está na forma de pequenos grãos de poeira com um raio da ordem de 10 - 6   m . Os grãos se encontram em uma região onde existe um gás ionizado rarefeito e podem acumular elétrons em excesso. Suponha que os grãos são esféricos, com um raio R = 1,0.10 - 6   m . Quantos elétrons um grão teria que recolher para adquirir um potencial de - 400   V na superfície? (Considere V = 0 no infinito.)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Pra começar, qual é a fórmula do potencial de uma esfera de raio “R” carregada com carga “q” (com a carga distribuída só na superfície, e não no centro da esfera)? É :

U = K q R

Onde:

  • U é o potencial elétrico;
  • K é a constante elétrica;
  • q é a carga dessa esfera e
  • R é o raio da esfera carregada.

Você pode só decorar esse resultado. Mas se quiser saber de onde vem, é dessa integral aqui:

U = K ∫ d q r

Só que a carga está distribuída só na superfície, então r = R (lembre-se, r é uma variável, que a princípio pode assumir qualquer valor, e R é o valor específico do raio da esfera).

Então o raio R sai da integral:

U = K R ∫ d q = K q R

Passo 2

Vamos dizer o seguinte: vamos supor que vamos precisar de “n” elétrons: Então a carga do nosso grão é q = n e . E e é a carga do elétron igual a e = - 1,6   .   10 - 19 C . Então o potencial de uma carga de n elétrons será igual a:

U = K n e R

Agora isolamos o n, porque é ele que queremos achar:

n = U R K e

Passo 3

Substitua os valoresssss:

  • Potencial elétrico igual a U =   - 400 V
  • Raio da esfera igual a R = 1,0.10 - 6   m  
  • A constante elétrica K = 8,99.10 9   N m 2 / C 2  
  • A carga do elétron é igual a e = - 1,6   .   10 - 19 C

n = - 400   V 1,0.10 - 6   m 8,99.10 9   N m 2 / C 2 - 1,60.10 - 19   C

n = - 400   .   10 - 6 - 14,384   .   10 - 10

n = 2,8.10 5 elétrons

Resposta

n = 2,8.10 5 elétrons

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