Enunciado

A bola A é largada do topo de um prédio de altura h no mesmo instante em que a bola B é atirada verticalmente, para cima, a partir do chão. Quando as bolas colidem, elas estão se deslocando em sentidos opostos e a rapidez de A é o dobro da rapidez de B. A que altura ocorre a colisão?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Vamos analisar essa questão. Ambas as bolas estão submetidas a gravidade somente, então teremos um movimento com aceleração constante para os dois casos e assim poderemos usar as equações desses movimentos.

Percebe que o enunciado não dá muitas informações e a gente não tem nenhum dado numérico. Vamos olhar com cuidado o que temos então. A gente tem uma relação entre a rapidez de cada bola quando elas se colidem.

Se há colisão, temos que as posições são iguais

y A = y B

Ele diz que no ponto onde isso acontece, a rapidez de A é o dobro da rapidez de B, ele elas tem sentidos opostos, logo as velocidades terão sinais trocados) e teremos a relação:

v A = - 2 v B

E o que ele quer é saber a altura em que essas bolas se colidem. Ou seja, ele quer um valor para y , sendo y A = y B = y .

A ideia aqui é que temos uma relação entre as posições das bolas e a velocidade das bolas. Então o que vamos fazer é achar a expressão de cada umas dessas grandezas e jogar nas nossas equações, e ver se conseguimos achar a posição onde elas se encontram. Bora!

Passo 2

A equação horária da posição para o movimento com aceleração constante é:

y = y 0 + v 0 t + a 2 t 2

E a da velocidade é

v = v 0 + a t

Para a bola A, temos que a velocidade inicial v 0 é nula pois ela sai do repouso, a posição inicial y 0 é a altura h , e a aceleração é a gravidade a = - g (negativa porque está para baixo). Logo, as equações para ela ficam:

y A = h - g 2 t 2

v A = - g t

Já para a bola B , não sabemos a velocidade inicial, então vamos deixar como v 0 mesmo (vai ser uma icognita). A posição inicial dela é o solo, então y 0 = 0 , e a aceleração é também a = - g :

y B = v 0 t - g 2 t 2

v B = v 0 - g t

Passo 3

Agora que a gente tem as expressões das posições e das velocidades, podemos substituir nas relações dadas pelo enunciado:

y A = y B

v A = - 2 v B

Substituindo nossas equações horárias:

h - g 2 t 2 = v 0 t - g 2 t 2

- g t = - 2 v 0 - g t

Percebe que a gente tem um sisteminha de duas equações e duas incógnitas: uma é o instante t em que essas bolas se encontram e a outra é a velocidade inicial da bola B.

Se a gente achar t , a gente pode jogar a expressão dele na expressão de y A e achar a altura em que essas bolas se encontram como o enunciado pede. Vamos fazer isso!

Passo 4

Rearrumando a nossas equações:

h - g 2 t 2 = v 0 t - g 2 t 2 ∴ h = v 0 t ∴ v o = h t

g t = 2 v 0 - g t ∴ g t = 2 v 0 - 2 g t ∴ 3 g t = 2 v 0

Substituindo a primeira equação na segunda:

3 g t = 2 v 0

3 g t = 2 h t

Isolando t , que a gente quer encontrar:

3 g t 2 = 2 h

t = 2 h 3 g

A gente deixa a raiz positiva porque tempo é só positivo, certo?

Passo 5

Com o valor de t , a gente consegue finalmente descobrir y = y A , usando a expressão da posição da bola A:

y A = h - g 2 t 2

Substituindo t nela:

y A = h - g 2 2 h 3 g 2

y A = h - g 2 2 h 3 g

y A = h - h 3

y = y A = 2 3 h

A gente vai deixar em função de h mesmo porque h é um dado do problema (a altura do prédio).

Você também poderia ter usado y B , mas aí precisaria ter achado v 0 . Ia ser mais trabalhoso, mas também dá certo! 😊

Resposta

y = 2 3 h  

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